Курсовая работа кластеризация обучающих выборок для нейронной сети прогнозирования показателей успеваемости студентов

1.3 Метрики для задания кластеров

Как было сказано выше для вычисления расстояния между объектами используются различные меры сходства(меры подобия), называемые также метриками или функциями расстояний:
1) Наиболее популярной является Евклидова метрика. Евклидова метрика между точками x и y это длина отрезка xy. В декартовых координатах, если x = {x₁, x2,…, x_n} и y = {y₁, y₂, …, y_n} две точки в Евклидовом пространстве, длина отрезка xy равна:
(1.1)
2) Для придания большего значения более отдаленным друг от друга объектам можно использовать квадрат Евклидова расстояния. Это расстояние вычисляется следующим образом:
(1.2)

3) Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера приводит к таким же результатам, как и для обычного Евклидова расстояния. Однако для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается.(т.к. Они не возводятся в квадрат). Формула для расчета манхэттенского расстояния:

(1.3)

4) Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда нужно определить два объекта как «различные», если они различаются по какой-либо одной координате. Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

(1.4)
5)Степенное расстояние. Применяется в случае, когда необходимо увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Степенное расстояние вычисляется по следующей формуле:

(1.5)
где u и v — параметры, определяемые пользователем.

Параметр u ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр v ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра — u и v равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида. Выбор метрики зависит от конкретной задачи, поскольку результаты кластеризации могут существенно отличаться при использовании разных мер.