Kursi sh I ilmiy rahbar: toshkent-2021

II BOB. Proyektiv geometriya.

1. 
   Proyektiv nuqtai nazardan yevklid geometriyasi.
   

Feliks Kleyn 1872 yili Germaniyaning Erlangen nщ ridagi universitetda ukigan lektsiyasida geometriya programmasini bayon etadi.
Bu irogrammada turli xil geometriyalarni almashtirishlar gruppasi
nutstai nazaridan taʼriflaydi. Masalan, yevklid geometriyasini ^arakat gruppasi bilan, affin geometriyani affin almashtirishlar gruppasi
bilan, proektiv geometriyani proektiv almashtirish gruppasi bilan
taʼriflaydi. Biror doyra yoki ixtiyoriy konus kesimini uz-uziga
utkazuvchi proektiv almashtirishlar gruppasi Lobachevskiy geometriyasini aniqlaydi f . Kleyn tomonidan berilgan taʼrif bilan tanishib chiqaylik:
Geometriya — almashtirishlarning biror gruppasiga nisbatan figuralarning invariant xossalari xakidagi fandir.
Proektiv nuqtai nazardan qaralgan affin geometriya f . Kleyn
goyasiga ko’ra affin, yevklid va noevklidiy geometriyalar proektiv
almashtirishlar gruppasining kiem gruppalari geometriyasidan iborat
bo’ladi.
Proektiv tekislikda ixtiyoriy a tugri chiziq va proektiv almashtirishlar gruppasi berilgan bulsin. a tugri chiziqnii uz-uziga utkazuvchi barcha almashtirishlar tuplami proektiv gruppaning k;ism
gruppasini tashkil siladi (a tog’ri chiziq absolyut deb aytiladi). Bu
qism gruppa affin almashtirishlar gruppasi bo’ladi.
А ₁А₂А₃ koordinat uchburchakning А₁, А₂ uchlari a to’g’ri chiziqda yotadi
deb olsak, a tog’ri chiziq x₃ = 0 tenglamaga ega buladi. Proektiv almashtirish a tog’ri chiziqni


­tenglama bilan aniqlangan a` to’g’ri chiziqqa o’tkazadi bu to’g’ri chiziqlar ustma ust tushishi uchun a`₃=b`₃=0 shart bajarilishi kerak .
Demak qism gruppani ixtiyoriy almashtirishi

Formula bilan beriladi.
Proyektiv almashtirishni yevklid tekisligida qarash uchun. X₃=0 deb olish yetarlidir.

Ushbu formula yevklid tekisligidagi affin allmashtirishni ifodalaydi.
Endi proyektiv P tekislikda affin geometriyaga nazar tashlaylik. Buning uchunproyektiv tekislikdagi xosmas to’gri chiziqni almashtirishimiz kerak. Bu tekislikdagi har bir to’g’ri chiziq bir xil huquqqa ega bo’lgani uchun tekislikdagi ixtiyoriy to’g;ri chiziqni xosmas to’g’ri chiziq deb olishimmiz mumkin. Yuqorida olingan natijalarga ko’ra hamma affin tushunchalarni proyektib geometriya terminlari orqali ta’riflashimiz mumkin bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Dadajonov 1-qism.