Kurs ishining maqsadi: Analitk geometriya fani davomida Ellips va uning kanonik tenglamasidan olgan bilim ko‘nikmalarni mustaxkamlash. Ellips xossalarini chuqurroq o‘rganish. Kurs ishining ob’ekti

3. НАТУРАЛ СОНЛАР СИСТЕМАСИ
Biz algebraik sistemalar temasini ko‘rib o‘tgani-mizda uning asosiy to‘plami istalgan elementlardan tuzilgan bo‘lishi mumknn degan edik. Agar qaralayotgan sistemalarning asosiy to‘plami elementlari sonlar­ dan iborat bo‘lsa, bunday sistemalar odatda sonli sistemalar deb yuritiladi.
Bu kursda asosan natural, butun, ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar sistemalari bilan shug‘ullaniladi.
Sonli sistemalarni qurishning asosiy ikkita usuli mavjud. Ular konstruktiv va aksiomatik usullardir. Bu ikkala usul ham to‘plam tushunchasiga asoslangan bo‘lib, dastlab natural, so‘ngra ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar sistemalari qaraladi.
Konstruktiv usulning mohiyati shundan iboratki, yangi qurilayotgan sistema avvaldan ma’lum hisoblangan tushuncha yordamida bayon etiladi. Masalan, natu­ral sonlar sistemasi uchun boshlang‘ich tushuncha to‘plam hisoblansa, ratsional sonlar sistemasi uchun boshlan-gich tushuncha natural sonlar sistemasidir va h. k.
Sonlar sistemalarini aksiomatik usulda qurishda esa har bir sistemaning asosiy xossalari aksiomalar yordamida beriladi.
Endi natural sonlar sistemasini aksiomatik usul­da bayon etamiz. Buning uchun asosiy boshlang‘ich munosabat sifatida «element a elementdan bevosita keyin keladi» munosabati va bu munosabat uchun o‘rinli bo‘lgan aksiomalar sistemasini olamiz.
Ta’rif. Biror bo‘shmas N to‘plamning a va elementlari uchun « element a elementdan bevosita keyin keladi» munosabati o‘rinli bo‘lib, mazkur to‘plam elementlari uchun quyidagi to‘rtta aksioma bajarilsa, u xolda N to‘plamning elementlari natural sonlar deyiladi:
1) hech qanday natural sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud (agar a dan bevosita keyin keladigai elementni a' desak, bu aksiomada a' b 1 ko‘rinishda yoziladi);
2) istalgan a natural son uchun undan bevosita keyin keladigan natural son yagonadir, ya’ni

3) 1 sonidan boshka ixtiyoriy natural son bitta va fakat bitta natural sondan keyin keladi, ya’ni

4) agar natural sonlar to‘plamining istalgan M qism to‘plami: a) ] ni o‘z ichiga olsa; b) ixtiyoriy a elementning M da bo‘lishidan a' ning xam L1 da bo‘lishi kelib chiqsa,
M kiyem to‘plam N natural sonlar to‘plami bilan ustma-ust tushadi, ya’ni

(induksiya aksiomasi).
Yukrridagi aksiomalarni dastlab Italiya matematigi Peano (1858—1932) taklif etgani uchun ular Peano aksiomalari deb yuritiladi.
Induksiya aksiomasining mohiyati quyidagidan iborat: teoremani isbotlaganda avvalo uning ' uchun restligi ko‘rsatiladi. So‘ngra berilgan teorema uchun to‘g‘ri deb faraz qilinib, uning " uchun
rostligi isbotlanadi. Shundan keyin teorema istalgan p na­tural son uchun to‘g‘ri deb hisoblanadi. Teoremalarni bu usulda isbotlash matematik induksiya prinsipi asosida is-botlash usuli deb yuritiladi. Shu usulning to‘g‘riligini isbot qilamiz.