|
2. Rits tenglamasi uchun Dirixle masalasi.
Chegarasi S bulgan soxada Rits tenglamasi
(72)
uchun Dirixle masalasining
(73)
taqribiy yechimi turlar usuli bilan topilsin. Bu holda (71) sistema
(74)
ko`rinishga ega bo`ladi. orqali da yotuvchi turning shunday kvadratlari to`plamini belgilaymizki, ularning uchlaridan xech bo`lmaganda bittasi dan avvaldan berilgan sondan katta bo`lmagan masofada yotsin (32- chizma). ga kirgan kvadratlarning xar bir uchidagi ning qiymatini shu uchiga eng yaqin turgan chegaraviy nuqtadagi izlanayotgan garmonik funsiyaning berilgan (73) funksiya qiymatiga teng deb hisoblaymiz (agarda bunday nuqtalar da bir nechta bo`lsa, u holda ning bu nuqtalardagi berilgan qiymatlaridan birortasi ixtiyoriy tanlab olinadi va unga tenglashtiriladi). Bu bilan ga kirgan hamma tugun nuktalarda ning taqribiy qiymatlari ma’lum bo`ladi.
Endi ga kirmagan tugun nuqtalarda ni topish qoladi. ga kirmagan ichki tugun nuqtalar soni ta bo`lsin.
8
- nuqtadagi ning kiymatini orqali, har bir tenglamadagi ga tegishli tugunlardagi larning qiymatlari to`plamini orqali belgilab, ularni tenglamaning o`ng tomoniga o`tkazib yozsak, (74) sistema
(75)
ko`rinishda yoziladi (32- chizma).
(74) yoki (75) tenglamalar sistemasi hamma vaqt yagona yechimga ega bo`ladi.
Oliy algebradan ma’lumki, bir jinsli bo`lmagan (75) sistemaning har qanday lar uchun birdan-bir yechimga ega ekanligini ko`rsatish uchun unga mos bir jinsli
(76)
sistema faqat trivial, ya’ni nolga teng yechimga ega ekanligini ko`rsatish kifoyadir. Faraz qilaylik, (76) sistema nolga teng bo`lmagan yechimga ega bo`lsin. orqali sonlardan eng kattasini belgilab olamiz. Farazimizga asosan noldan katta. Umumiylikka ziyon yetkazmay son larning birortasiga teng deb hisoblashimiz mumkin, chunki lardan birortasi ga teng bo`lganda barcha larning ishorasini teskarisiga almashtirish natijasida avvalgi holga keladi. bulsin. nuqtadagi ning qiymati to`rtta qo`shni tugun nuqtalardagi qiymatlarining o`rta arifmetik qiymatiga teng bo`lgani uchun bu qo`shni nuqtalardagi larning qiymati dan kichik bo`la olmaydi, ning to`rtta nuqtadagi qiymatlari yig`indisining to`rtga bo`lingani ga teng bo`lishi uchun ularning har birida bo`lishi kerak. Bu qo`shni tugun nuqtalarning har biriga qo`shni tugun nuqtalarga nisbatan ham shunday mulohazalarni yuritish mumkin.
B u jarayonni davom ettirib, barcha ichki tugun nuqtalarda bu nuqtalarga qo`shni bo`lgan tugun nuqtalarida ham bo`lishiga ishonch xosil qilamiz. U xolda barcha lar bir vaqtda nolga teng bo`lmay qoladi (chunki lar ning tugunlaridagi lar qiymatlarining kombinatsiyasini teskari ishorasi bilan o`ng tomonga o`tkazilganiga tengdir). Bu esa barcha (76) tenglamalarning o`ng tomonlari nolga tengligiga qarama-qarshidir. Demak, bizning farazimiz noto`g`ri, (75) tenglamalar sistemasi yagona yechimga egadir.
9
Agar i(x,y) (72), (73) masalaning aniq yechimi bo`lsa, u holda ni yetarli kichik tanlab, i ni yetarli kichiklashtirish natijsasida (74) sistemaning yechimi i(x,y) dan juda xam oz farq qilishini ko`rsatish mumkin.
Biz bu fikrning isbotini keltirmay, chekli ayirmalar tenglamalarining yechish usullariga to`laroq to`xtalib o`tamiz.
Chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan yechish juda ko`p noma’lumli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga olib keladi. Bunday sistemani determinantlar nazariyasi usuli bilan yechish nihoyatda texnik qiyinchiliklarni tug`diradi. Shuning uchun ham ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish anchagina qulay hisoblanadi. Avvalo larning ixtiyoriy qiymatini olamiz va bu qiymatlarni orqali belgilab, ularni
(74) sistema yechimiga nolinchi yaqinlashish deymiz. Keyingi yaqinlashishlarning topish usulini bayon qilish uchun barcha lar to`rni mos tugunlarida yozilgan deb tasavvur qilish qulaydir.
Birinchi yaqinlashishni (74) ga asosan tuzamiz, ya’ni birinchi tugun nuqtada ning qiymatini o`chirib, uning o`rniga birinchi tugun nuqtaga qo`shni bo`lgan to`rtta tugun nuqtalardagi lar qiymatlarining o`rta arifmetik qiymatigi teng bo`lgan ni yozamiz. So`ngra ikkinchi tugun nuqtada yozilgan ning qiymatini o`chirib, uni son bilan almashtiramiz, bu son uchun ham to`rtta qo`shni nuqtalardagi qiymatlarning o`rta arifmetik qiymati olinadi (bulardan bittasida bo`lib qolishi ham mumkin) va x.k. Shu yo`sinda barcha ichki tugun nuqtalarni aylanib o`tib, bularda larning qiymatini topamiz. lar lardan qanday topilgan bo`lsa, ikkinchi yaqinlashishning qiymatlari ham lardan xuddi
shunday topiladi. Shu tarzda , … lar ham hosil qilinadi.
Agar i (74) tenglamaning aniq yechimi b0`lsa, da barcha lar uchun
Buni isbot qilish uchun
10
deb belgilaymiz. Biz da bo`lishini k0`rsatishimiz kerak. Avvalo shuni uqdirib o`tamizki, lar lardan qanday hosil bo`lgan bo`lsa, sonlar ham lardan xuddi shunday hosil bo`ladi, ya’ni lar tugun nuqtaga qo`shni bo`lgan to`rtta tugun nuqtadagi qiymatlarining o`rta arifmetik qiymatiga teng, shu bilan birga, agar qo`shni tugun nuqtalardan bittasi chegaraviy nuqta yoki dagi tugun nuqtalar bilan ustma-ust tushsa, bu nuqtada nolga teng buladi. Shuning uchun, agar
desak, u xolda birinchi tugun nuqtaga qo`shni bo`lgan tugun nuqtalardan xech bo`lmaganda bittasi chegaraviy tugun nuqta bo`lgani uchun
Bo`ladi.
Xuddi shunga o`xshash
Shuningdek, barcha va lar uchun
bo`ladi.
Haqiqatan ham, oxirgi tengsizlikni matematik induktsiya usuli bilan isbotlaymiz. bo`lsin, holda
11
Bu yerda tugun nuqtaga qo`shni nuqtalardan biri chegaraviy yoki dagi nuqta bo`lib qolishi e’tiborga olindi. Oxirgi tengsizlikdan da bo`lishi darhol kelib chiqadi. Nazariy jihatdan bu munosabat nolinchi yaqinlashishni ixtiyoriy tanlashda o`rinli buladi. Ammo amaliyotda bu yaqinlashish (74) sistemaning aniq yechimiga yaqinroq bo`lishi uchun nolinchi yaqinlashish Dirixle masalasining aniq yechimidan katta farq qilmaydigan sonlarni tanlab olish ma’qulroq bo`ladi.
Ketma-ket yaqinlashish jarayoni ning shunday qiymatlarida uzilib qoladiki, bunda larning qiymatlari ning o`sishi bilan sezilarli o`zgarmay qoladi. Bu lar (74) sistemaning taqribiy yechimi deb qabul qilinadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
