Кўпбурчак

Koshi teoremasi


Koshi masalasi va uning qo`yilishida xarakteristikalarning roli.
(1) tenglama uchun Koshi masalasi bunday qo`yiladi:
Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (1) tenglamani va da
(4)
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
(2) tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo`yiladi.
Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (2) tenglamani va
(5)
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Keltirilgan Koshi masalasini umumlashtirish mumkin. Shu maqsadda o`zgaruvchili ikkinchi tartibli ushbu kvazichiziqli differensial tenglamani tekshiramiz:
(6)
Etarli siliq : sirt va bu sirtga urunma bo`lmagan, uning har bir nuqtasida biror yo`nalish berilgan bo`lsin.
Koshi masalasi: sirtning biror atrofida (6) tenglamani va
(7)
Koshi shartlarini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Bu umumlashtirilgan Koshi masalasidir.
Koshi masalasi qo`yilishida sirtni xarakteristik sirt bo`lmasligi muhimdir. Agar sirt xarakteristik sirt bo`lsa, boshlang`ich shartlarda verilgan va funksiyalar o`zaro bog`langan bo`lib qoladi. Demak xarakteristik sirtda boshlang`ich shartlarni ixtiyoriy berilishi mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman echimga ega bo`lsa ham u yagona bo`lmaydi.
Misol: Ushbu
(8)
tenglamaning
(9)
boshlang`ich shrtlarni qanoatlantruvchi echimi topilsin.
Ravshanki, to`g`ri chiziqlar oilasi, jumladan ham berilgan tenglamaning xarakteristikalardan iborat. Demak boshlang`ich shartlar xarakteristikada berilyapti tekshirilayotgan tenglamaning umumiy echimi
(10)
dan iborat. Umumiylikka ziton etkazmay deb hisoblashimiz mumkin.
Boshlang`ich shartlarga asosan

Agar bo`lsa oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin amas, bu holda Koshi masalasi echimga ega bo`lmaydi.
Shunday qilib, bo`l gandagina Koshi masalasi echimga ega bo`ladi. Bu holda

bu erda sinifga tegishli va shartlarni qanoat-lantiruvchi funksiya.
Agar bo`lsa, Koshi masalasining echimi mavjud bo`lib, u echim
(11)
formula bilan aniqlanadi lekin echim yagona emas.