Koshi teoremasi Darbu teoremasi. Lopital qoidasi

Isboti. Avval teoremaning maxsus holini – A va B har xil ishorali bo‘lgan - holini isbotlaymiz. Aniqlik uchun A>0, B<0 bo‘lsin. U holda (a,b) intervalga tegishli bo‘lgan kamida bitta c nuqta topilib, bo‘lishini isbotlashimiz lozim.
Teorema shartiga ko‘ra f(x) funksiya [a;b] kesmada hosilaga ega, demak bu kesmada uzluksiz. U holda Veyershtrass teoremasiga ko‘ra f(x) funksiya [a;b] kesmaning kamida bitta c nuqtasida eng katta qiymatiga erishadi. Bu nuqta a nuqtadan ham, b nuqtadan ham farqli. Haqiqatan ham,

bo‘lganligi sababli, argument orttirmasi absolyut qiymat jihatdan yetarlicha kichik bo‘lganda tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan bo‘lganda f(a+x)-f(a)>0 yoki f(a+x)>f(a) munosabat o‘rinli. Demak, f(a) qiymat f(x) funksiya [a;b] kesmadagi eng katta qiymati bo‘la olmaydi. Shunday qilib, ac.
Huddi shunga o‘xshash,

munosabatdan foydalanib, cb ekanligi isbotlanadi.
Demak, a<c<b. U holda Ferma teoremasiga ko‘ra bo‘ladi.
Endi teoremani umumiy holda isbotlaymiz. Aytaylik A va B biri ikkinchisiga teng bo‘lmagan sonlar bo‘lsin. Aniqlik uchun A>B deb olamiz. A>C>B shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy C sonni tayinlab olamiz va ushbu yordamchi funksiyani tuzamiz. F(x) funksiya ham f(x) funksiya kabi [a;b] kesmada hosilaga ega: . Shu hosilaning [a;b] kesma uchlaridagi qiymatlarini hisoblaymiz:
; .
Demak, hosila [a;b] kesma uchlarida turli ishorali qiymatlar qabul qiladi. U holda yuqorida isbotlaganimizga ko‘ra kamida bitta c (a<c<b) nuqta topilib, , ya’ni bo‘ladi. Bundan kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.

DARBU

FERMA

TEOREMA

ROLL

KOSHI

LAGRANJ