Koshi masalasining kuyilishi

Koshi masalasining kuyilishi.

y>0 yarim tekislikda giperbolik tipga tegishli buziladigan birinchi tur tenglamani kuyidagikanonik kurinishlarda yozish mumkin.

Bu yerda buzilishi kursatgichi deyiladi. Agar bulsa (1.1), (1.2) tenglamalar uchun tenglamalarning xarakteristik uchburchaklarida Koshi masalasi korrekt kuyilgan.

Dastlabki bugan m=1 xolni karakmiz. U xolda (1.1) tennglama kuyidagi kurinishda yoziladi:

Bu yerda koeffisentlar a,b,c,f funksiyalar x,y uzgaruvchilar buyicha differensiallanuvchi funksiyalardir (1.3) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi kuyidagi tenglamadan iborat:

Bunda

Demak (1.3) tenglamaning xarakteristikalari

Egri chiziklardan iborat.y=0 tugri chizikning esa (1.3) tenglamaning buzilishi chizigi buladi va bu xolda (1.3) tenglama giperbolik tipdagi buziladigan birinchi tur tenglama deyiladi. D bilan

xarakteristiklar va y=0 tugri chizik bilan chegaralangan egri chizikli xarakteristik uchburchakni belgilaymiz. (1-chizma)

Ma'lumki (1.3) tenglamaning yechimi buzilishi chizigi yakinidagi xulki tenglamanig koeffisentiga va buzilishi kursatgichi ga boglik, ya'ni tenglamaning yechimi va uning xosilasi chizikda umuman chegaralanmagan bulishi mumkin. Shuning uchun (1.3) tenglama uchun Koshi shartlari (boshlangich shartlari) tugri chizikda berilganda odatdagi Koshi masalasi korrekt qo‘yilmagan bulishi mumkin1-chizma.Xarakteristik uchburchak.

у C D 0 А В х

1-chizmada tenglama tenglama BC xarakteristikalarning tenglamalaridir.

Koshi masalasi: (3) tenglamaning D soxada regulyar, da uzluksiz va ukning biror kismida masalan, kesmada

shartlarni kanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda -berilgan funksiyalar uzlarining birinchi, ikkinchi uchinchi tartibli xosilalari bilan uzluksizdir va funksiyalar da x buyicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz xosilalarga ega. (1.3)tenglamaning D soxada regulyar yechimi deganda D soxada ikki marta differensialanuvchi va (1.3) tenglamani kanoatlantiruvchi funksiyani tushunamiz

Koshi masalasining yechilishi.

funksiyani yangi funksiyani bilan kuyidagicha almashtiramiz:

U xolda (1.1) tenglama kuyidagi kurinishga utadi.

Bu yerda

(1.6) almashtirish yordamida (1.6), (1.7) boshlangich shartlar utadi:

Endi (2)tengalamani kuyidagicha yozib olamiz:

Kuyidagi belgilashlarni kiritamiz:

U xolda bu belgilashlar yordamida (5) tenglama kuyidagi differensial tenglamalar sistemasiga utadi:

(6) belgilashlar yordamida (3), (4) boshlangich shartlar kuyidagi kurinishni oladi:

(7) sistemaning xarakteristikalari

Endi (6) belgilashlardan funksiyalarni kuyidagi tengliklar orkali ifodalaymiz:

U xolda bu belgilashlar yordamida (6) tenglama kuyidagi differensial tenglamalar sistemasiga utadi:

(10) belgilashlar yordamida (3), (4) boshlangich shartlar kuyidagi kurinishni oladi.

(11) sistemaning xarakteristikalari xam

Endi (10) almashtirishlardan funksiyalarni kuyidagi tengliklar orkali ifodalaymiz:

(13) xarakteristkalar yunalishida ifodalarni xisoblaymiz. Kuyidagi tengliklarni isbotlash kiyin emas.

Xakikatdan xam

Bu yerda

tenglik urinli buladi. S₂ tenglamasi bulgan xarakteristkaning yoy uzunligi bulgani uchun tenglik urinli. Bu yerdan Demak,

Tenglikka ega bulamiz. Agar tengliklarni xisobga olsak tengsizliklarga ega bulamiz. U xolda

Demak

(16)

Shunga uxshash

(16) va (17) dan bevosita

Tengliklar kelib chikadi va (15) tengliklar isbot buladi.

(11) differensial tenglamalar sistemasini mos ravishda (13) xarakteristkalar buyicha integrallab va (3), (4) boshlangich shartlarni sistemasiga kelamiz.

Bu yerda -lar (x,y) nuktalardan utuvchi mos ravishda

xarakteristiklarning yoy uzunliklaridir.

Kurish kiyin emaski, kuyilgan Koshi masalasini y-ning kichik kiymatlari uchun yechish yetarli. (18)sistemaning chap tomonidagi integrallarning egri chizikli integrallar ekanligini xisobga olib, sistemani kuyidagi kurinishida yozamiz:

(19) integral tenglamalar sistemasini ketma-ket yakinlashishi usuli bilan yechamiz. Nolinchi yakinlashishlarni deb (n+1) yakinlashishlarni kuyidagicha olamiz:

(1.1) tenglama koeffisentlarining xossalariga asosan shunday M,K sonlar topilib, tengsizlik-lar bajariladi. Endi uz navbatida y₂ni shunday tanlaymizkib uchun

tengsizlik bajarilsin. Kuyidagi lemmani isbotlaymiz.

Lemma: Xar kanday n va uchun

tengsizlik urinli. Bu yerda M chegaralangan uzgarmas son. Xakikatan xam (20), (21)larga asosan

Bulardan kuyidagi tengsizliklarni xosil kilamiz.

Shunday uxshash

uchun limma isbotlandi. bulsa,

Shunga uxshash

Shunday kilib kiymatlar uchun (23) tengsizliklar isbotlandi. Endi (19) tengsizliklarni n uchun urinli deb, n+1 uchun isbotlaymiz.

Shunga uxshash

Bundan

Shunday kilib Lemma isbotlandi. Lemmadan funksional katorlarning tekis yakinlashishi xakida Veyershtrass alomatiga asosan

Funksional katorlarning tekis yakinlashishi kelib chikadi. Bunday bevosita funksional ketma-ketliklarning tekis yakinlashishi oydinlashadi. Ularning limitlarini mos ravishda deb belgilaymiz:

(23) dan va lemmadan funksiyalar uchun kuyidagi baxolarga ega bulamiz:

funksional ketma-ketliklarning tekis yakinlashuvchi bulganligidan (22) integral tenglamalar sistemasida da limitga utib - funksiyalarning (19) integral tenglamalar sistemasining yechimlari ekanligiga ishonch xosil kilamiz.

funksiyalar Ox uki va xarakteristikalar yunalishi buyicha xosilalarga ega va bundan funksiyaning diffensiallanuvchiligi kelib chikadi.

Bu yerdan funksiyaning (2) tenglamani va (3), (4) chegaraviy shartlarni kanoatlantirish xam kelib chikadi. Natijada

funksiyaning (1.1) tenglamani va (1.6),(1.7) boshlangich shartlarni kanoatlantirishi aydinlashadi. Demak, (1.1), (1.6), (1.7) Koshi maslasining yechimi mavjudligini isbotladik.

3. Koshi masalasi yechimining yagonaligi.

Koshi masalasi yechimining yagonaliginiisbotlash uchun avval Koshi masalasiga ekvivalent bulgan dagi (19) Vol'tera integral tenglamalar sistemasining yechimlarining yagonaligini kursatamiz.

Buning uchun teskarisini faraz kilamiz, ya'ni (19) sistema yechimlari yagona bulmasin funksiyalar va funksiyalar (19) sistemaning yechimlari bulsin.

U xolda funksiyalar kuyidagi integral tenglamalar sistemasini kanoatlantiradi.

dagi (24) baxolashlarga asosan

baxolashlar xam urinli (3.2) sistemaga ketma-ket yakinlashish usulini kullaymiz. Bu uchun nolinchi yakinlashtirishni

yakinlashlarni kuyidagicha olamiz:

-funksiyalar (3.2) sistemaning yechimlari bulgan uchun

dagi Lemmadagi baxolashlarni

funksiyalar uchun xosil kilish mumkin.

Bu yerda

U xolda chunki

xuddi shunday

bu yerda farazimining notugri ekanligi kelib chikadi. Demak, integral tenglamalar sistemasi yechimi yagona ekan.

Endi koshi masalasi yechimining yagona ekanligini isbotlash kiyin emas. Faraz kilaylik, koshi masalasi yechimi yagona emas. yechimlar Koshi masalasi yechimi bulsin.

U xolda kuyidagi integral tenglamalar sistemalariga kelamiz:

Biz yukorida integral tenglamalar sistemasi yechimining yagonaligini isbotlagandek. Demak, (3.5),(3.6) integral tenglamalar sistemalari bitta integral tenglamalar sistemasining ikki kurinishida yozilishi ekan. Bu yerda esa ekanlgi kelib chikadi va koshi masalasining yagonaligi isbot buladi.

(3.5) dan ekanligini xisobga olib da limitga utib ekanligini ishonch xosil kilish kiyin emas.

Demak, ekan. Shunday kilib, (19) integral tenglamalar sistemasi yechimlari yagona ekan. Bu yerdan esa Koshi masalasining yechimi yagona ekanligi bevosita kelib chikadi.