Ko'rsatkichli funksiya, uning aniqlanish va o'zgarish sohalari. Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari. Ko'rsatkichli funksiyaning grafigi

Ko'rsatkichli funksiya, uning aniqlanish va o'zgarish sohalari. Funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlari. Ko'rsatkichli funksiyaning grafigi.

Darajaning asosiy xossalarini eslatib o'tamiz. a > 0, b > 0, x, x₁ va x₂ - istalgan

haqiqiy sonlar bo'lsin. U holda

agar a›1, x›0 bo’lsa,

a^x›1. Amaliyotda, ko'pincha, y = 2^X, y = 3^x kabi funksiyalardan, ya'ni y = a^x ko'rinishdagi funksiyadan ham foydalaniladi, bu yerda a - berilgan son, x - o'zgaruvchi. Bunday funksiyalar ko’rsatkichli funksiyalar deb ataladi. Ular-ning bunday atalishi ko'rsatkichli funksiyaning argumenti darajaning ko'rsat-kichi, darajaning asosi esa berilgan son bo'lishi bilan tushuntiriladi. Ko'rsatkichli funksiya deb y = a^x funksiyaga aytiladi, bunda a - berilgan son, a > 0, a # 1.

Ko'rsatkichli funksiya quyidagi xossalarga ega:

1. Ko'rsatkichli funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqi­qiy sonlar to'plami R.

Bu xossa a^x darajaning (bunda a > 0) barcha x€R uchun aniqlanganligidan kelib chiqadi.

2. Ko'rsatkichli funksiyaning qiymatlari to'plami barcha musbat sonlar to'plami.

Tenglama va tengsizliklarni yechishda quyidagi xossalar muhim ahamiyatga ega.

1 -teorema. y = a^x ko'rsatkichli funksiya a > 1 bo'lganda barcha haqiqiy sonlar to'plamida o'suvchi bo'ladi. a > 1 va x₂ > x₁ bo'lsa a^{X 2} > a^xl bo'ladi.

2-teorema. y= a^x ko'rsatkichli funksiya 0 < a< 1 bo'l­ganda barcha haqiqiy sonlar to'plamida kamayuvchi bo'ladi. 0 < a < 1 va x₂ > x_l bo'lsa, a^x2 < a^x1 bo'ladi.


y= 2^x va y=(1/2)^x funksiyalarning grafiklarini ko'rib o'tilgan xossalardan foydalangan holda ularga tegishli bir nechta nuqtalar bo'yicha yasaymiz (rasm).

y = 2^X funksiyaning grafigi (0; 1) nuqtadan o'tishini va Ox o'qidan yuqorida joylashganliginl ta'kidlab o'tamiz. Agar x < 0 bo'lsa va kamaysa, u holda grafik Ox o'qiga jadal yaqinlashadi (iekin uni kesib o'tmaydi); agar x > 0 bo'lsa va o'ssa, u holda grafik yuqoriga jadal ko'tariladi. Ag'ar a > 1 bo'lsa, istalgan y = a^x funksiyaning grafigi xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi (rasm).

y=(1/2)^x funksiyaning grafigi ham (0; 1) nuqtadan o'tadi va Ox o'qidan yuqorida joylashgan. Agar x > 0 bo'lsa va o'ssa, u holda grafik Ox o'qiga jadal yaqinlashadi (uni kesib o'tmaydi); agar x < 0 bo'lsa va kamaysa, u holda grafik yuqoriga jadal ko'tariladi.

Agar 0 < a < 1 bo'lsa, istalgan y = a^x funksiyaning grafigi xuddi shunday ko'rinishga ega bo'ladi .

Ko'rsatkichli funksiya ko'pincha turli fizik jarayonlarni tavsiflashda qo'llaniladi. Masalan, radioaktiv yemirilish ushbu mos ravishda t vaqt momentidagi va boshlang'icb t = 0 vaqt moment! dagi massasi, T - yarim yemirilish davri (modda dastlabki miqdorining ikki marta kamayishigacha o'tgan vaqt oralig'i).

Havo bosimining ko'tarilish balandligiga bog'liq ravishda o'zgarishi, chulg'amga o'zgarmas kuchlanishni ulangandagi o'zinduksiys toki va hokazolar ko'rsatkichli funksiya yordamida ifodalanadi.