Коррект бщлмаган масалаларни ечишнинг замонавий усуллари фанидан

8 - МАOРУЗА. БИГАРМОНИК ФУНКЦИЯНИ ИККИТА ГАРМОНИК ФУНКЦИЯЛАРНИНГ ЙИЬИНДИСИ ОРЫАЛИ ИФОДАЛОВЧИ АЛPМАНСИ ФОРМУЛАЛАРИ.

Режа
1. Тщьри теорема.

2. Тескари терема.
3. Доира учун Дирихле масаласи ечимининг мавжудлиги.

Бигармоник функцияни иккита гармоник функцияларнинг йиьиндиси кщринишида ёзиш мумкин, я­oни ыуйидаги теорема щринли бщлади.

1- теорема. Агар U₁(x,y) ва U₂(x,y) функциялар D соъада гармоник функциялар бщлса, у ъолда U(x,y)=xU₁(x,y)+U₂(x,y) (1) тенглик билан аниыланган U(x,y) функция D соъада бигармоник функция бщлади.
Исбот. Ыуйидаги айниятдан фойдаланамиз.
(2)
Бу формулада =х, =u₁ деб олиб ыуйидаги тенгликни хосил ыиламиз.
(3) (1) тенгликдан (3) ни эoтиборга олиб эканлигидан тенгликка эга бщламиз. Демак, U(x,y) D соъада бигармоник функция экан.
Агар х щыига пареллел бщлган ъар ыандай чизиы D соханинг чегарасини иккитадан ортиы бщлмаган нуыталарда кесиб щтса, у ъолда бундай соъа учун ыуйидаги тескари теорема щринли бщлади. Бундай хоссага эга бщлган соъа х щыи бщйича тщьри соъа дейилади.
2 - теорема: (тескари) D соъада ъар бир U(x,y) бигармоник функция учун бу соъада шундай U₁(x,y), U₂(x,y) гармоник функциялар топиладики, бу функциялар учун
U(x,y)=xU₁(x,y)+U₂(x,y) тенглик щринли бщлади.
Исбот: Теремани исботлаш учун ыуйидаги 2 та шартни ыаноатлантирувчи U₁(x,y) функцияни аниылаш мумкинлигини кщрсатиш кифоя.
U₁=0 (4)
(U - хU₁) (5)
(5) формуладан (3) тенгликка асосан U=(xU₁)=2 (6) тенглик хосил ыиламиз (6) тенгламани
функия ыаноатлантиради, чунки фаыат у щзгарувчига боьлиы бщлади.
Яoни
функцияни ыуйидаги шартни ыаноатлантирадиган ыилиб танлаймиз.
бу функия (4) ва (5) шартларни ыаноатлантиради. Теорема исбот бщлди.
Шундай ыилиб, х щыи бщйича тщьри соъалар учун (1) формула щзаро бир ыийматли формула экан.
Шунингдек, у щыи бщйича тщьри сохалар учун
U(x,y)=yU₁(x,y)+U₂(x,y) (7)
щзаро бир ыийматли формула бщлади.
D соха координата бошини щз ичига олсин. Агар координата бошидан чиыувчи ъар ыандай нур D соха чегарасини 1 та нуытада кесиб щтса бу соъага юлдузсимон соъа дейилади.
Юлдузсимон соъа учун ыуйидаги щзаро бир ыийматли формула щринли бщлади:
(8)
бу ерда r­­­­­­­­­­²=x²+y², r₀ - щзгармас сон.
(1), (7), (8) формулаларга Алpманси формулалари дейилади.
D_R орыали маркази координината бошида бщлган R радиусли доирани белгилаймиз. Ыутб координаталар системасида Дирихле масаласини ыараймиз.
, (1)
, (2)
, (3)
D_R доира учун ыуйидаги Алpманси формулалари щринли бщлади:
, (4)
бу ерда U₁(r,) ва U₂(r,) лар - гармоник функциялар. (2) чегаравий шартдан (4) формулага кщра
U₂(R,)=f₁() (5)
шартни хосил ыиламиз. Маoлумки, (5) шартни ыаноатлантирувчи Лаплас тенгламасининг ечими ыуйидаги Пуссон формуласи ёрдамида ифодаланади:
(6)
(3) чегаравий шартдан
(7)
тенгликни хосил ыиламиз. Текшириб кщриш мумкинки,
(8)
функция Лаплас тенгламасини ыаноатлантиради.
Шунинг учун бу функцияни ыуйидаги Пуассон формуласи ёрдамида ифодалаш мумкин
(9)
(6) ни бщйича дифференциаллаб хосил ыилинган нинг ифодасини (9) га ыщйиб, U₁(r,) функцияни топамиз. Топилган U₁(r,) ва U₂(r,) функцияларнинг ифодаларини (4) га ыуйиб, (1) - (3) масала ечимини хосил ыиламиз:

Таянч иборалар

Бигармоник функция, гармоник функция, х щыи бщйича тщьри соха, у щыи бщйича тщьри соъа, юлдузсимон соъа, Алpманси формулалари, Доира учун Дирихле масаласи, ечимнинг мавжудлиги, Пуассон формуласи.

Назорат учун саволлар

1. Бигармоник функцияни 2 та гармоник функциялар орыали ифодалаш ъаыидаги теоремани келтиринг.

2. х щыи бщйича тщьри сохани таoрифланг.
3. Тескари теоремани келтиринг.
4. Юлдузсимон сохани таoрифланг.
5. Алpманси формулаларини ёзинг.
6. Доира учун Дирихле масаласини ыщйинг.
7. Дирихле масаласи ечимини доира учун ёзинг.