Коррект бщлмаган масалаларни ечишнинг замонавий усуллари фанидан

B_hf(x) - f’(x) айирмани бахолаймиз.
Щрта ыиймат хаыидаги теоремага асосан
B_hf(x) - f’(x)=f’(x+₁h) - f’(x)=f"(x+₂h)-₁h
Ифодага эга бщламиз.
Бундан
Тенгсизлик келиб чиыади. Бу ерда ₁,₂ - щзгармас сонлар. 0₂₁1.
Ыуйидаги кщринишдаги тенгламага бигармоник тенглама дейилади:
тенгламани - Лаплас оператори ёрдамида ыисыача кщринишда ёзиш мумкин.
Бигармоник тнгламани ыаноатлантирувчи U(x,y) функция бигармоник функция дейилади.
Дирихле масаласи. S ёпиы чизиы билан чегараланган D соъада ыуйидаги шартларни ыаноатлантирувчи U(x,y) функция топилсин.
, (1)
(2)
(3)
бу ерда n - S чизиыыа щтказилган ташыи нормал, f₁(x,y), f₂(x,y) - берилган функциялар.
Дирихле масаласи ечими ягона эканлигини кщрсатамиз. Бунинг учун тескарисини фараз ыиласиз, яoни Дирихле масаласи 2 та U₁(x,y), U₂(x,y) ечимларга эга бщлсин. У холда бу функцияларнинг айирмаси (x,y)=U₁(x,y)-U₂(x,y) функция бигармоник тенгламани ва _s=0, чегаравий шартларни ыаноатлантиради.
D соъа учун ыуйидаги Грин формуласини ёзамиз.

Бу формулада деб оламиз, ыуйидаги тенгликка эга бщламиз.
. Бундан D сохада эканлиги келиб чиыади. чегаравий шартларни эoтиборга олиб, Лаплас тенгламаси учун Дирихле масаласи ечими ягоналигидан D сохада =0 ёки U₁=U₂ эканлигини хосил ыиламиз. Демак, (2) ва (3) шартлар бигармоник функцияни бирдан биор аниылар экан.

Таянч иборалари.

Дифференциаллаш масаласи, интеграл тенглама, Банах фазоси, Корректлик тщплами, турьунлик бахоси, таырибий ечим, регулярлаштирувчи оператор, бигармоник тенглама, бигармоник функция, Дирихле масаласи, ечимнинг ягоналиги, Грин формуласи.

Назорат учун саволлар.

1. Дифференциаллаш массаласини ыщйинг.
2. Масаланинг нокорректлигини кщрсатинг.
3. 1 - тур Волpтер интеграл тенгламасини ёзинг.
4. Турьунлик бахосини келтиринг.
5. Таырибий ечим кщринишини ва аниы ечим билан таырибий ечим фарыининг бахосини ёзинг.
6. Бигармоник тенглама кщринишини ёзинг.
7. Бигармоник функцияни таoрифланган.
8. Дирихле масаласини ыуйинг.
9. Дирихле масаласининг ечими ягона эканлигини кщрсатинг.
10. Грин формуласини ёзинг.

Муаммоли вазият ва топшириылар

1. Дифференциаллаш масаласи 1-тур интеграл тенгламага эквивалент бщлишини мустаыил исботланг.
2. Ъосиланинг таoрифидан фойдаланиб, дифференциаллаш масаласи таырибий ечимининг ифодаси регулярлаштирувчи операторлар бщлишини кщрсатинг.
3. Бигармоник функцияларга мисоллар келтиринг.
4. Тузган функцияларингиз бигармоник тенгламани ыаноатлантиришини кщрсатинг.
5. Лаплас тенгламаси учун Дирихле масаласи ечимининг ягоналигини исботланг.

Адабиёт
1. А.А.Тихинов, А.А.Самарский. «Уравнения математической физика». М. Наука. 1982 г.

2. М.М.Лаврентpев. «Нокорректных задачи для дифференциалный уравнений». Новосибирск. 1981 г
3. А.Н.Тихинов, В.Арсенин. «Методы решения нокорректных задач». М.Наука. 1979г.
4. М.М.Лаврентов. «Нокорректные задачи для дифференциалных уравнений». Новосибирск. 1981г.
5. Б.Н.Будак и другие. «Сборник задач по уравнениям математической физика». М. Наука. 1972г.
6. М.А.Атаходжаев. «Нокорректный задачи для бигармонического уравнения». Т. 1986г
7. А.Ы.Щринов, З.А.Ахмедов «Математик физика тенгламаларидан масалалар ечиш бщйича методик кщрсатма», Фарьона, 2003 й.