Ko’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar


Reja;Ko'phadning haqiqiy ildizlari



Download 197,72 Kb.
bet3/5
Sana31.12.2021
Hajmi197,72 Kb.
#259844
1   2   3   4   5
Bog'liq
KO’phadlarning haqiqiy ildizlarini aniqlash haqidagi teoremalar

2.Reja;Ko'phadning haqiqiy ildizlari

Bezu teoremasi. Gorner sxemasi. Ko'phadning ildizlari.

(Etyen Bezu (1730-1783) - fransuz matematigi). P(x) ko'phadni x-a ikkihadga bo'lganda bo'linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:

P(x)—(x-a)Q(x)+R(x)

Agar bu munosabatga x—a qo'yilsa, P(a)=0Q(a)+R(a)—R(a)—r hosil bo'ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:



  1. teorema (Bezu). P(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an(a^0) ko'phadni x-a ga bo'lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko'phadning x=a dagi qiymatiga teng, r=P(a).

Masalan, 1) x5+x+20 ni x+2 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r—(-2)5+(-2)+20=-14;

  1. x5+x+34 ni x+2 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r—(-2)5+(-2)+34=0.

Demak, x—-2 soni shu ko'phadning ildizi.

Natijalar. n€N bo'lganda:

  1. xn-anikkihad x-a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(a)—an-an—0;

  2. xn+an ikkihad x-a ga bo'linmaydi. Haqiqatan, P(a)—an+an—2xn^0;

  3. x2n-a2n ikkihad x+a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n-a2n—0;

  4. x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo'linmaydi.Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n+1-a2n+1—- 2a2n+1^0;

  5. x2n+1-a2n+1 ikkihad x+a ga bo'linadi. Haqiqatan, P(-a)—(-a)2n+1+a2n+1—0;

  6. x2n+a2n ikkihad x+a ga bo'linmaydi. Haqiqatan, P(- a)—a2n+a2n—2a2ni^0; Bo'lish bajariladigan hollarda bo'linmalarning ko'rinishini aniqlaymiz:

x5-a5—(x-a)(x4+ax3+a2x2+a3x+a4); x5+a5—(x+a)(x4-ax3+a2x2-a3x+a4);

6 6 / \/5, 4 | 2 3 | 3 2 | 4 | 5 \

x -a —(x-a)(x +ax +a x +a x +a x+a );

  1. misol. x5-ax+4 ni x+3 ga bo'lishdagi qoldiq r=4 bo'lsa, a ni toping.

Yechish. (-3)5-a^(-3)+4=4, bundan a=81.

P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an ko'phadni x-a ikkihadga bo'lishdagi qoldiqni hisoblashning Gomer (Xorner Uilyam (1786-1837) - ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko'rsatamiz.

P(x)=Q(x)(x-a)+r

bo'lsin. Bunda



Q(x)=b(xn 1+b1xn 2+b2xn 3+...+bn-1.

(1) da x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo'lamiz:



a0=b0

a1=b1-ab0

a2=b2-ab1

an-1 bn-1 abn-2 an r-abn-1

Bundan ko'rinadiki, b0=a0, bk=abk-1+ak, k=1,2,..., n-1, r=an+abn-1. Bo'linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.






a0

a1

a2




an-1

an

a




ab0+a1

ab1+a2




abn-2+an-1

abn-1 + an




0

0

b

b1

b2




bn-1

r


2 О

2-misol. x +4x -3x+5 ko'phadni Gorner sxemasidan foydalanib, x-1 ga bo'lishni bajaramiz.






1

4

-3

5

1

1

5

2

7

Demak, x3+4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.

Bezu teoremasidan P(x) ko'phadni ax+b ko'rinishdagi ikkihadga bo'lishda hosil

bo'ladigan r qoldiq P(-b/a) ga teng bo'lishi kelib chiqadi.

2 9


  1. misol. P3(x)=x -3x +5x+7ni 2x+1 ga bo'lishdan hosil bo'lgan qoldiqni toping. Yechish. Qoldiq r=P3(-1/2)=(-1/3)3-3(-1/2)2+5(-1/2)+7=29/8 ga teng.

  1. teorema. Agar a soni P(x) ko'phadning ildizi bo'lsa, P(x) ko'phad x-a ikkihadga qoldiqsiz bo'linadi.

Isbot. Bezu teoremasiga ko'ra, P(x) ni x-a ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq P(a) ga teng, shart bo'yicha esa P(a)=0. Isbot bajarildi.

Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko'phadni chiziqli ko'paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.



  1. natija. Agar P(x) ko'phad har xil ah ..., an ildizlarga ega bo'lsa, u (x-a!) ...(x- an) ko'paytmaga qoldiqsiz bo'linadi.

  2. natija. n-darajali ko'phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo'la olmaydi.

Isbot. Agar n- darajali P(x) ko'phad n+1 ta har xil a1t ..., ak+1 ildizlarga ega bo'lganda, u n+1-darajali (x-a1)...(x-ak+1) ko'paytmaga qoldiqsiz bo'linardi. Lekin bunday bo'lishi mumkin emas.

Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540­1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning at haqiqiy koeffitsiyentlari va at ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz:



  1. a2x +a1x+a0=b(x-a1)(x-a2)=bx -b(a1-a2)x++ba1a2. Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, b=a2 bo'ladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:

a1+a2=-a/a2, aa2=a0/a2;

2 О

  1. shu tartibda P3(x)=a3x +a2x +a1x+a0 uchun:

a1+a2+a3=-a2/a3, a1a2+a1a3+a2a3=a1/a3, a1a2a3=-a0/a3 formulalar topiladi.

Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi a t ,.. ., an sonlarining Pn(x) = anxn + ... +a0 ko‘phad ildizlari bo’lishi uchun zarur va yetarlidir.Agar P(x) ko’phad (x- a)k ga qoldiqsiz bo’linsa,lekin, (x- a)k+1 ga qoldiqsiz bo’linmasa, a soni Р(х) uchun k karrali ildiz bo‘ladi.



  1. §.Algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari.

Algebraning asosiy teoremasi (Gauss teoremasi):

n- darajali ( bu yerda n >1) har qanday kophad aqalli bitta kompleks ildizga ega.1

Teorema. Agar z= a + /i kompleks soni haqiqiy koeffitsiyentli P(z) ko’phadning ildizi bo’lsa, z= a — / i kompleks soni ham P(z) kophadning ildizi bo ‘ladi.

Isbot. z kompleks soni P (z) = a0zn + a1zn'x + ... + an-1z+ an ko‘phadning ildizi boTsin. U holda



aozn + a1zn'1 + ... + an1z+ an — 0 yoki

aozn + a1zn'1 + ... + an-1z+ an = 0 tenglik o‘rinli boTadi. Kompleks songa qo'shma sonni topish amalining xossalaridan foydalansak,

a0( z)n + a(z)n~x +... + an _j z + an = 0

tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, z soni ham P(z) ko‘phadning ildizi. Teorema isbot bo‘ldi.



Natija. n-darajali Pn(x) kophad x-a ko‘rinishidagi ikkihadlar va

2

x + px + q ko ‘rinishidagi manfiy diskriminantli kvadrat uchhadlar darajalarining ko ‘paytmasidan iborat:

Pn (x) — a0(x - a)k ... (x2+px+q)m..., bu yerda ke{0, 1, 2,...}, me{0, 1, 2, . . .}.


Download 197,72 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish