Ko'p o'zgaruvchili murakkab funksiyalarning differensiallamuvchiligi. Murakkab funksiyaning hosilasi

Ko'p o'zgaruvchili murakkab funksiyalarning differensiallamuvchiligi. Murakkab funksiyaning hosilasi

funksiya to'plamda berilgan bo'lib, o'zgaruvchilarning har biri o'z navbatida o'zgaruvchilarning to'plamda berilgan funksiya bo'lsin:

Bunda bo'lganda unga mos bo'lsin. Natijada ushbu

murakkab funksiyaga ega bo’lamiz.

T$ nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, funksiya esa

nuqtada

differensiallanuvchi bo'lsa, u holda murakkab funksiya ham nuqtada differensiallanuvchi bo'ladi. nuqtani olib, uning koordinatalariga mos ravishda shunday orttiruvchilar beraylikki, bo'lsin.

holda dagi har bir funksiya ham orttirmalarga va nihoyat funksiya orttirmaga ega bo'ladi.

Shartga ko'ra (13,9) dagi funksiyalarning har biri nuqtada differensiallanuvchi. Demak,

bo'ladi, bunda hususiy hosilalarning

nuqtadagi qiymatlari olingan, va

$ $

Shartga asosan, funksiya nuqtada

differensiallanuvchi. Demak,

$ $

bo'ladi, bunda hususiy hosilalarning nuqtadagi qiymatlari olingan va da

bo'ladi va munosabatlardan topamiz:

bo'lganligi sababli

$ $

bo'ladi. Madomiki, funksiyalar nuqtada

differensiallanuvchi ekan, ular shu nuqtada uzluksiz bo'ladi. Unda uzluksizlik ta'rifiga ko'ra da, ya'ni da

bo'ladi. Yana ham aniqroq aytsak, formula-

dan da ekanligi kelib chiqadi.

da esa

Demak, barcha barcha

Agar

$ $

deyilsa, u holda (13.12), (13.13) va (13.14) munosabatlardan

$ $

kelib chiqadi.