Ko`p o`zgaruvchili funksiya ekstremumlari

_

Bundan _ , _ bo‘lgani uchun

(-2;0) da funksiya ekstremumga ega A>0 bo‘lgani uchun (-2; 0) minimumga ega.

2 – misol. _ doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:

_

Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.

2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz: _

3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.

Bu sohaning chegarasi x²+y²=4 aylanadan iborat, y²=4-x² buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x²-(4-x²), z=2x²-4, x²+y²=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun _, shunnig uchun z=2x²-4 funksiyaning _ dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0

b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z₂(0)=-4 ni topamiz.

c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃

z₄(2)=2*2²-4=4, z₃(-2)=2*(-2)²-4=4

4) Topilgan z_1, z₂, z₃, z₄ qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

3 – misol. _ doirada eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

1) Funksiyaning berilgan sohadagi kritik nuqtalarini topamiz:

_

Demak, (0,0) kritik nuqta va u sohaga tegishli.

2) Funksiyaning topilgan nuqtadagi qiymatini topamiz: _

3) Funksiyani sohaning chegarasidagi eng kichik va eng katta qiymatini topamiz.

Bu sohaning chegarasi x²+y²=4 aylanadan iborat, y²=4-x² buni berilgan funksiyaga qo‘ysak z=x²-(4-x²), z=2x²-4, x²+y²=4 aylana ustidagi nuqtalar uchun _, shunnig uchun z=2x²-4 funksiyaning _ dagi eng kichik va eng katta qiymatlarini topamiz. Buning uchun bu funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz z`=4x, 4x=0, x=0

b) Funksiyaning kritik nuqtalaridagi z₂(0)=-4 ni topamiz.

c) Funksiyaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatini topamiz׃

z₄(2)=2*2²-4=4, z₃(-2)=2*(-2)²-4=4

4) Topilgan z_1, z₂, z₃, z₄ qiymatlarni taqqoslaymiz. Demak, -4 funksiyanig eng kichik, 4 esa eng katta qiymatidir.

4 – misol. Quyidagi funksiyaning ekstrimumini toping.

Yechilishi: