Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlar

Misollar. 1. vektor , parallelepipeddan tekis taqsimlangan deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsa:



-ikki o’lchovli vektor normal taqsimotga ega deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi quyidagi ko’’rinishda bo’lsa:

bu yerda va larning musbat aniqlangan kvadratik formasi. Uni quyidagicha ko’rinishda yozish mumkin:

bu yerda va lar musbat sonlar, va . Agar bo’lsa, u holda vektorning har bir koordinatalari ( va larning har biri) bir o’lchovli normal taqsimotga ega bo’ladi.

Agar bo’lsa, va lar chiziqli bog’langan bo’ladi.

Bir o’lchovli taqsimot funksiya uchun isbotlangani kabi ko’p o’lchovli taqsimot funksiya uchun ham quyidagi xossalarning o’rinli ekanligini isbotlash mumkin:

1˚ . 3˚.1˚. funksiya har bir argument bo’yicha kamaymaydigan funksiya.

2˚. funksiya har bir argument bo’yicha chapdan uzluksiz.

3˚. va .

Bu xossalar funksiyaning taqsimot funksiya bo’lishi uchun yetarli emas. Bu funksiyaning taqsimot funksiya bo’lishi uchun quyidagi 4˚ ham bajarilishi kerak.

4˚. Ixtiyoriy va lar uchun funksiya manfiy bo’lmasligi kerak. Bu shartning zaruriyligiga quyidagi misol orqali ishonch hosil qilish mumkin.

Misol. Faraz qilaylik

.

, bo’lish ehtimolligini (2) formuladan foydalanib topamiz:

.

funksiya uchun aytilgan 1˚, 2˚, 3˚ xossalar o’rinli bo’ladi. Lekin, 4˚ xossa bajarilmaydi. Demak, haqiqatan ham 4˚ shart o’rinli bo’lishi zarur ekan. Agar judvam funksiya bo’lib, ixtiyoriy lar uchun

shart bajarilsa, unksiyagaf tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deyiladi.

Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

2. tasodifiy vektorning qiymatlarining biror sohaga tushish ehtimolligi:

ga teng.

Ikki o’lchovli normal tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

bu yerda , , , lar haqiqiy sonlar.

(3)

ellipsning ichkarisida zichlik funksiyasi o’z ishorasini saqlaydi, bu yerda -o’zgarmas son, (3) ga teng ehtimollar ellipslari deyiladi.

Ta’rif. tasodifiy miqdorlarning ixtiyoriy guruhi uchun

(4)

bo’lsa, tasodifiy miqdorlar o’zaro bog’lanmagan deyiladi.

Jumladan, ixtiyoriy lar uchun (4) dan

kelib chiqadi, taqsimot funksiyasi orqali oxirgi tenglik

(5)

ko’rinishini oladi, bu yerda tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi.

Ko’p hollarda (5) tenglikni tasodifiy miqdorlar o’zaro bog’liq emaslik ta’rifi sifatida ham qabul qilinadi.

Agar o’zaro bog’lanmagan tasodifiy miqdorlar lar zichlik funksiyalarga ega bo’lsalar, u holda -o’lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi uchun

o’rinli bo’ladi.

Misol. komponentalari o’zaro bog’liqmas va normal taqsimotga ega bo’lgan -o’lchovli tasodifiy miqdorni qaraymiz.

.

Bu holda tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi

zichlik funksiyasi esa

ga teng bo’ladi.

bo’lganda oxirgi tenglik

ko’rinishni oladi. Bu funksiyani ikki o’lchovli normal qonunning zichlik funksiyasi bilan taqqoslab, agar tasodifiy miqdorlar bog’liqmas bo’lsalar, parametr gat eng bo’lishliliga ishonch hosil qilish mumkin.