Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni

Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi

• 
  X va Y t.m.lar bog‘liqsiz deiladi, agar uchun va hodisalar bog‘liqsiz bo‘lsa.
  

Endi t.m.lar bog‘liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.

Teorema. X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun

(3.5.1)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, va hodisalar ham bog‘liqsiz bo‘ladi. U holda , ya’ni .
Yetarliligi. (3.5.1) tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda bo‘ladi. Bu tenglikdan X va Y t.m.lar bog‘liqsizligi kelib chiqadi. ■
1-natija. X va Y uzluksiz t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun

(3.5.2)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar X va Y t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda (3.5.1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni x bo‘yicha, keyin esa y bo‘yicha differensiyallab, tengliklarni, ya’ni hosil qilamiz.
Yetarliligi. (3.5.2) tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni x bo‘yicha va y bo‘yicha integrallaymiz:

.

Bu esa tenglikning o‘zidir. Teoremaga ko‘ra X va Y t.m.lar bog‘liqsizligi kelib chiqadi. ■

2-natija. X va Y diskret t.m.lar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun ihtiyoriy larda

(3.5.3)

tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

3.4-misol. a) 3.1-misoldagi X va Y t.m.lar bog‘liqmi? b) 3.3-misoldagi X va Y t.m.lar bog‘liqsizmi?
a) , , ya’ni
. Demak, X va Y t.m.lar bog‘liq.
b) tenglik o‘rinli, demak, X va Y t.m.lar bog‘liqsiz.