Koordinatalarni almashtirish. Silindrik va sferik koordinatalar

Silindrik va sferik koordinatalar
sonlar uchligiga fazo nuqtasining silindrik koordinatalari deyiladi, bu yerda nuqtaning tekislikka proyeksiyasi radius vektorining uzunligi, bu radius vektorning o‘q bilan tashkil qilgan burchagi, nuqtaning applikatasi (13-shakl).
Silindrik va dekart koordinatalari quyidagi bog‘lanishga ega:
,
bu yerda

sonlar uchligiga fazo nuqtasining sferik koordinatalari deyiladi, bu yerda nuqta radius vektorining uzunligi,
radius vektorning tekislikka proyeksiyasining o‘q bilan tashkil qilgan burchagi, radius vektorning o‘qdan og‘ish burchagi (14-shakl).
Sferik va dekart koordinatalari quyidagi bog‘lanishga ega

bu yerda .
Misol
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida berilgan
nuqtaning silindrik va sferik koordinatalarini topamiz:

, chunki nuqta tekislikning
choragida yotadi,
Demak, berilgan nuqtaning silindrik koordinatalari
nuqtaning sferik koordinatalarini topamiz:

,
Demak,
Fazodagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi
Umumiy boshlang‘ich nuqtaga va bir xil masshtab birligiga ega bo‘lgan o‘zaro perpendikulyar , va o‘qlar fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini hosil qiladi (12-shakl). Bu sistemaning o‘qi abssissalar o‘qi, o‘qi ordinatalar o‘qi, o‘qi applikatalar o‘qi va ular birgalikda koordinata o‘qlari deb ataladi. Bunda , va o‘qlarning ortlari , , bilan belgilanadi, nuqtaga koordinatalar boshi deyiladi, , va o‘qlar joylashgan fazo koordinatalar fazosi deb ataladi va bilan belgilanadi.
koordinatalar tekisliklari fazoning bu tekisliklarga tegishli bo‘lmagan barcha nuqtalarini oktantlar deb ataluvchi sakkizta bo‘lakka bo‘ladi. Yuqori yarim fazoda ( da) oktantlarni barcha koordinatalari musbat bo‘lgan oktantdan kelib chiqqan holda soat strelkasiga teskari yo‘nalashda ( o‘qning musbat yo‘nalishidan qaralganida) bilan belgilaymiz. Quyi yarim fazoda ( da) oktantlarni bilan belgilaymiz, bunda mos ravishda oktant oktantning,

Koordinatalar	Oktantlar
	I	II	III	IY	Y	YI	YII	YIII
	+	-	-	+	+	-	-	+
	+	+	-	-	+	+	-	-
	+	+	+	+	-	-	-	-

– ning, – ning, – ning tagida joylashadi. Nuqtaning u yoki bu oktantda joylashishiga qarab, uning koordinatalari ishoralari ushbu jadvaldagi kabi bo‘ladi.
koordinatalar fazosining ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. vektorga nuqtaning radius vektori deyiladi.
radius vektorning koordinatalariga nuqtaning to‘g‘ri burchakli koordinatalari deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda nuqtaning koordinatalari kabi belgilanadi, bunda soni nuqtaning abssissasi, soni nuqtaning ordinatasi va soni nuqtaning applikatasi deb ataladi. Uchta , va koordinatalar fazodagi nuqtaning o‘rnini to‘liq aniqlaydi, ya’ni , va sonlarning har bir uchligiga fazoning yagona nuqtasi mos keladi, va aksincha.
Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   https://hozir.org
   
2. 
   https://fayllar.org
   
3. 
   https://uz.wikipedia.org