Контрольная работа 9 вариант Задание №1

Контрольная работа
9 вариант
Задание № 1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение: 1) сторон данного треугольника; 2) высоты СD, опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) медианы АЕ; 4) окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром; 5) ∠А.

Решение:

1. 
   Найдем уравнения сторон треугольника:
   

2. 
   Найдем уравнение высоты СD:
   

Высота СD перпендикулярна стороне АВ, значит угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением:

Уравнение прямой имеет вид или:

Зная угловой коэффициент прямой и точку прямой, составим уравнение высоты СD по формуле:

3. 
   Найдем уравнение медианы АЕ:
   

Так как АЕ – медиана, то Е – середина стороны . Найдем координаты точки Е:

Находим уравнение медианы АЕ:

4. 
   Находим уравнение окружности:
   

Найдем координаты центра окружности :

Найдем длину медианы АЕ:

Так как АЕ диаметр окружности, то:

Уравнение окружности составим по формуле:

5. 
   Находим ∠А:
   

Задание № 2. Найдите пределы указанных функций.




Задание № 3. Найти производные и дифференциалы указанных функций.


























Задание № 4. Исследовать функцию и построить график.

1. 
   Область определения функции:
   

2. 
   Четность или нечетность функции:
   

3. 
   Точки пересечения кривой с осями координат:
   

4. 
   Исследование на экстремум:
   

Функция непрерывна
Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Находим нули функции:






В окрестности точки производная функции меняет знак с «+» на «-», следовательно точка – точка максимума

В окрестности точки производная функции меняет знак с «-» на «+», следовательно точка – точка минимума

5. 
   Находим интервалы выпуклости и вогнутости функции:
   

Находим корни уравнения:

6. 
   Асимптоты кривой:
   

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде . По определению асимптоты: 
Находим коэффициент : 


Поскольку , наклонных асимптот не существует

Задание № 5. Найти неопределенные интегралы.









Задание № 6. Решить следующие задачи.
На картинке изображены следы лесных зверей: медведя, лисы и белки. Вероятности того, что след принадлежит медведю, лисе и белке, относятся как 3:5:2 соответственно. Какова вероятность того, что из четырех наугад указанных следа три будут медвежьи, а один – лисий.
Решение:
Для решения данной задачи используем формулу Бернулли:


Ответ: 0,054
Задание № 7. Закон распределения дискретной случайной величины X
задан в виде таблицы. В первой строке ее указаны возможные значения x_i
случайной величины X, во второй – их соответствующие вероятности p_i.
Вычислить: а) математическое ожидание M(X); б) дисперсию D(X);
в) среднее квадратическое отклонение . Начертить график закона
распределения и показать на нем вычисленные M(X) и .

	-3	-1	1	3	5
	0,1	0,3	0,2	0,1	0,3

Решение:
а) Находим математическое ожидание:

б) Находим дисперсию:

в) Находим среднее квадратичное отклонение:

График закона распределения: