|
Teorema 2.
Eger a hám b lar ózgermeytuǵın san bolıp, - tıǵızlıq funksiyası bolsa ol halda :
(10 )
Tastıyıqı :
- dep dıń tıǵızlıq funksiyasın belgileymiz.
1) a>0. Ol halda úzliksiz tosınarlı muǵdardıń matematikalıq qutilishi tariypiga kóre
(1): Teorema 1 ge kóre a>0 de
(2): kóriniste ózgeriwshilerdi almastırıwdı atqarsak, ol halda dx = adt hám x = at + b boladı. a>0 bolǵanı ushın (integrallawdıń jańa joqarı shegarası ), hám , (integrallawdıń jańa tómen shegarası )
Eger a<0 bolsa, esaplawda kútá úlken bolmaǵan ózgeris boladı :
(1): Teorema 1 ge kóre a<0 de
Sonday etip (10 ) formula tolıq tastıyıq boldı.
(2): kóriniste ózgeriwshilerdi almastıramız, ol halda, boladı hám a<0 bolǵanı ushın (integrallawdıń jańa joqarı shegarası ), (integrallawdıń jańa tómen shegarası ) (3) Integrallaw shegaralarınıń ornın almastıramız.
Bul teoremadan, integraldıń sızıqlılıgınan hám ótken temadagi teorema 2 den (3) formula tolıq tastıyıq boladı.
Yaǵnıy :
Endi tosınarlı muǵdardıń dispersiyasini esaplaw formulasın shıǵaramız.
Teorema 3.
Eger - tıǵızlıq funksiya bolıp, bolsa, ol halda :
(11)
Tastıyıqı :
Áwele - tosınarlı muǵdardıń bólistiriw funksiyası - ni tabamız :
bolǵanı ushın, , larda hám sol sebepli:
de
dep - tosınarlı muǵdardıń tıǵızlıq funksiyasın belgilesak, tómendegi payda boladı :
Sonday etip:
Yendi - tosınarlı muǵdardıń dispersiyasini tariypga tiykarınan esaplaw múmkin
(1): lar ushin
X-tosınarlı muǵdardıń k-tártipli baslanǵısh momenti dep, tosınarlı muǵdardıń matematikalıq kutilmasiga aytıladı, yaǵnıy .
Diskret tosınarlı muǵdar ushın bul formula kóriniste bolıp, úzliksiz tosınarlı muǵdar ushın bolsa
kóriniste boladı.
Bizge X-tosınarlı muǵdar berilgen bolsa oǵan uyqas oraylıq tosınarlı muǵdar dep, X-tosınarlı muǵdardıń óziniń matematikalıq kutilmasidan chetlanishiga aytıladı, yaǵnıy .
X-tosınarlı muǵdardıń k-tártipli oraylıq momenti dep oraylıq tosınarlı muǵdardıń k-tártipli baslanǵısh momentine aytıladı, yaǵnıy
kóriniste boladı. .
Bulardan tısqarı tosınarlı muǵdarlardıń tómendegi eki sanlı xarakteristikaların kóriw múmkin. Mediana Me dep tosınarlı muǵdardıń sonday ma`nisine aytamizki, bunda
boladı. Sonday eken tosınarlı tájiriybede X-tosınarlı muǵdar birdey extimol menen yamasa Me den úlken boladı, yamasa Me den kishi boladı. Bul xarakteristika tosınarlı muǵdardıń bahaları sanlar o'qida qanday jaylasqanlıǵın xarakterleydi. Normal bólistirilgen tosınarlı muǵdar ξ ushın Me=Mξ. Mediana noparametrik statistikada zárúrli rol oynaydı.
Tawıq hám bódeneden basqa quslardıń mákiyeni dep diskret bólistirilgen tosınarlı muǵdarlar ushın tosınarlı muǵdardıń eń úlken extimolga iye bolǵan ma`nisine aytıladı.
Úzliksiz tosınarlı muǵdarlar ushın tawıq hám bódeneden basqa quslardıń mákiyeni tosınarlı muǵdardıń tıǵızlıq funksiya maksimum bahaǵa erisetuǵın ma`nisine teń.
Tıǵızlıq funksiyası bir maksimumga iye bolǵan bólistiriwler unimodal bólistiriwler, bir neshe maksimumga iye bolǵan bólistiriwler polimodal bólistiriwler dep ataladı. Tawıq hám bódeneden basqa quslardıń mákiyeni de matematikalıq kutilma hám mediana sıyaqlı tosınarlı muǵdardıń sanlar o'qidagi jaylanıwın xarakterleytuǵın sanlı xarakteristika bolıp tabıladı. Simmetrik, unimodal bólistiriwler ushın bul úshew xarakteristika birdey bolıp tabıladı. Normal bólistiriw ushın tawıq hám bódeneden basqa quslardıń mákiyeni menen matematikalıq kutilma teń boladı.
Tariyp. X diskret tosınarlı muǵdar bınamial nızam boyınsha bólistirilgen dep ataladı, eger ol 0,1,2,…,n bahalardı
itimal menen qabıl qilsa, bul jerde Bınamial nızam boyınsha bólistirilgen X diskret tosınarlı muǵdar bólistiriw nızamı tómendegi kóriniske iye:
Nyuton bınamiga tiykarınan Bunday bólistiriwdi arqalı belgileymiz.
Onıń bólistiriw funksiyası tómendegishe boladı :
Tariyp. Eger X tosınarlı muǵdar 1,2,…,m,.. bahalardı
itimal menen qabıl qilsa, ol geometriyalıq nızam boyınsha bólistirilgen tosınarlı muǵdar dep ataladı, bul jerde
Geometriyalıq nızam boyınsha bólistirilgen tosınarlı muǵdarlarǵa mısal retinde tómendegilerdi alıw múmkin: sapasız ónim chiqqunga shekem tekserilgen ónimler sanı ; gerb tárepi tushgunga shekem taslanǵan teńgeler sanı ; nıshanǵa tekkunga shekem otilgan oqlar sanı hám t.b.
Geometriyalıq nızam boyınsha bólistirilgen diskret tosınarlı muǵdar bólistiriw nızamı tómendegi kóriniske iye:
,
Sebebi itimallar geometriyalıq progressiyani quraydı : Sol sebepli joqarıdaǵı bólistiriw geometriyalıq bólistiriw dep ataladı hám arqalı belgilenedi.
Onıń bólistiriw funksiyası tómendegishe boladı :
Tariyp. Eger X tosınarlı muǵdar 0,1,2,…,m,… bahalardı
itimal menen qabıl qilsa, ol Puasson nızamı boyınsha bólistirilgen tosınarlı muǵdar dep ataladı, bul jerde qandayda bir oń san.
Puasson nızamı boyınsha bólistirilgen X diskret tosınarlı muǵdardıń bólistiriw nızamı tómendegi kóriniske iye:
Teylor yoyilmasiga tiykarınan, Bul bólistiriwdi arqalı belgileymiz. Onıń bólistiriw funksiyası tómendegishe boladı :
X t. m. dispersiyasi dep, M (X - M X)2 ańlatpaǵa aytıladı.
Dispersiya D X arqalı belgilenedi. Sonday eken,
D X = M (X - M X )2
Eger X dickret t. m. bolsa,
Eger X úzliksiz t. m. bolsa,
T. m. dispersiyasini esaplaw ushın tómendegi formula qolaylı esaplanadı :
Bul formula matematikalıq kutilma ózgeshelikleri tiykarında tómendegishe keltirip shiǵarıladı :
Dispersiyaning ózgeshelikleri:
1. Ózgermeytuǵın sannıń dispersiyasi nolǵa teń DC=0.
2. Ózgermeytuǵın ko'paytuvchini kvadratqa kóterip, dispersiya belgisinen
tısqarına shıǵarıw múmkin,
3. Eger X perpendikulyar Y bolsa, D(X+Y)=DX+DY
Do'stlaringiz bilan baham: |
