Kompleks sonlarning turli kо‘rinishlari. Kоmplеks sоn tushunchasi

2-qism. Doiraviylik xossasi. Kasr chiziqli funksiya vositasida bajariladigan akslantirishning ajoyib xossalari bor. Bulardan biri doiraviy xossa bo’lib, u bilan tanishmoqdan ilgari analitik geometriyadan ma’lum ayrim mulohazalarni esga olamiz. Tekislikdagi to’gri chiziq deb, cheksiz katta radiusli aylanani qabul qilamiz, demak, biz aylana haqida so’zlaganimizda to’gri chiziqlarni ham shu hisobga kiritamiz. Ishni osonlashtirish uchun ning ushbu

hususiy holini

olamiz. Buning yordami bilan tekislikdagi aylananing aksi da aylana bo’lishini ko’ramiz.

Ma’lumki, tekislikdagi aylananing umumiy tenglamasi

ko’rinishga ega.

Agar va lar ikkalasi bir vaqtda nolga teng bo’lmay , bo’lsa, to’gri chiziq tenglamasi kelib chiqadi. Agarda va bo’lsa, haqiqatan aylanaga ega bo’lamiz .

Agar , lardan

, ,

ekanini e’tiborga olsak, u holda aylana tenglamani kompleks o’zgarishlar

ko’rinishda yoki dan foydalanib,

(1)

ko’rinishda yozish mumkin, bunda , .

Maboda, yuqorida aytganimizdek, bo’lib qolsa , (1) dan to’gri chiziqning kompleks ko’rinishidagi ushbu

tenglamasi kelib chiqadi .

Bizning maqsadimiz ga murojat qilamiz :

dan

Bularning tegishli qiymatlarini (1) ga qo’yamiz:

yoki kasrdan qutqarilsa:

(2)

Buning (1) tipdagi tenglama ekanligi ochiqdan-ochiq ko’rinib turibdi , ya’ni (2) tenglama tekislikdagi aylanani bildiradi. Xususiy holda bo’lsa , undan

to’gri chiziq tenglamasi kelib chiqadi. Shunday qilib, quyidagi teorema isbot qilindi:

Teorema. Ixtiyoriy kasr chiziqli



funksiya tekislikdagi har qanday aylanani tekislikdagi aylanaga aylantiradi ( bo’lganda , bo’lganda bo’ladi).