Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Reja

Misol. ning barcha w_k (k=0, 1) qiymatlarini toping.
Yechish:

Mashqlar

98. ni hisoblang, agar:

1)
2)
3)
4) bo`lsa.
99. tenglamaning barcha ildizlari uchun formula yozing.

100. Ikki hadli tenglamalarni yeching:

1) ³+i=0 2) ⁴=i
3) ⁵+1=0 4) ⁴-32=0



teskari tasdiq ham o’rinlidir:  soni ^{z  x  iy} kompleks sonning argumenti deyiladi, faqat va faqat shundagina, qachonki (1.13) tenglamalar sistemasiniing har ikkalasi ham bajarilsa.

Demak, ^{z  x  iy}
kompleks sonning argumentini topish uchun (1.13)

tenglamalar sistemasini yechish kerak ekan.

(1.13) sistema cheksiz ko’p yechimga ega. Bu yechimlar
  ₀  2k , k  0, 1, 2,... formula bilan aniqlanadi, bu yerda ₀

(1.13) sistemaning bitta yechimi. Demak, kompleks sonning argumenti

bir qiymatli aniqlanmas ekan. Agar ₀
burchak z kompleks son

argumenti qiymatlaridan bittasi bo’lsa, bu sonning argumentini barcha qiymatlari

Argz  ₀  2k
 arg z  2k ,
k  0, 1,  2, ...
(1.14)

formula bilan aniqlanadi. Agar arg z yarim yopiq [ , ) yoki ( , ]

oraliqda joylashgan bo’lsa, u holda argumentning bu qiymatiga bosh

qiymat deyiladi ( ^{
 arg z  } ,
^{  arg z  } ).

(1.13) formuladan kelib chiqadiki, ^{z  x  iy}
argumenti
kompleks sonning 

tg( Ar g z)  ^y
x
tenglamani qanoatlantiradi. Bundan ko’rinadiki, A rg z ko’p qiymatli

bo’lib,
Arctg ^y
x
ning biror qiymati bilan ustma-ust tushadi. Shu sababli,

Arctg ^y
x

ning bosh qiymatini

arctg ^y
x

deb belgilasak

u holda,
⁽  ^
2
 arctg
y _ 
x 2

yoki

• 
  ^  arctg
  

2
^y  ^{ ),}
x 2

arg z  arctg

^y , agar
x


x  0,


y  0

bo’lsa;

arg z  

• 
  arctg
  

^y , agar
x
x  0,
y  0

bo’lsa;

arg z  

• 
  arctg ^y
  

x

, agar

x  0,
y  0

bo’lsa;

arg z  ^{ , agar}
2
x  0,
y  0

bo’lsa;


arg z ^{ , agar x  0, y  0 bo’lsa.}
2
1.2-misol. Quyidagi kompleks sonlarning moduli va argumentini toping.

z₁  3i ;
z₂  2 ;
z₃  1  i ;
z₄  1 i .

Yechish.
z₄  1 i
kompleks sonning
Re z₄
 x  1,

z₄
Im z₄  y  1. (1.5) formuladan ^{  } .

z₄  1 i
nuqta uchinchi chorakda yotadi va
tg₄
 ^1  1^{. U}
1

holda
₄  arg z₄

 arg(1  i)   ^{3 .}
4

Arg z_{4
 } 3
4

• 
  2k , k  0, 1, 2,...^{. Xuddi shuningdek}
  

^{r  z   3,}   arctg ³  ^{ ; r  z}

 2 ,

^{1 1} 1
_{0 2} 2 2

₂   ;
r₃  z₃ 
^{2 ,}   ^{ .}
3 ₄

Ixtiyoriy  :
     uchun cos  i sin
kompleks sonni
_ei

simvol bilan belgilaymiz (bunda e natural logarifmning asosi). Demak, e^{i funksiya matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Eyler} formulasidan

aniqlanadi.

_ei
 cos  i sin ,
     (1.15)

Kompleks sonni


z  re^i
(1.16)

ko’rinishdagi ifodasiga ko’rsatkichli shakli deyiladi, bu yerda
  Argz .
r | z |,

Xususiy holda
_e0i
 cos 0  i sin 0 1,

^{i }  
e ⁴  cos  i sin   i  (1 i)^,
4 4 2 2 2
i ^ _{  i}

e ²  cos
 i sin
2 2
 i , e
 cos  i sin
 1.

Ixtiyoriy n - butun son uchun

_ei(2n )
 cos(  2 n)  i sin(  2 n)  cos  i sin  e^i ,

ya’ni
e^{i funksiya  -ga nisbatan davriydir.}

Barcha haqiqiy  soni uchun

_ei _
 1,
e^i  1

munosabat o’rinli. (1.15) formulada  ni - ga almashtirishdan

hosil qilinadi.
_ei
 cos  i sin
(1.17)

(1.15) va (1.17) tengliklarni qo’shish va ayirishdan Eyler formulalarini


cos  ¹ e^i
2
_{ e}i _,
sin  

1. 
   _ei
   


2i
_{ e}i _
(1.18)

hosil qilinamiz. Trigonometrik funksiya (1.18) yordamida ko’rsatkichli funksiya orqali ifodalanadi.
e^{i funksiya quyidagi xossalarga ega:}

_ei(₁₂ )
_{ e}i_{1  e}i_2
ei₁
(1.19)

_ei(₁₂ )
 . (1.20)
_ei₂

z  z
 re^i1  r e^i2
 r 
_{r  e}(₁₂ )i _,
(1.21)

1 2 1 2 1 2


z re^i1 r
¹  ¹  ¹ e^{i (12 )} . (1.22)
z r e^i2 r
2 2 2

Matematik induksiya metodini qo’llab ixtiyoriy natural son uchun

_ei(₁_n )
 e^i1  e^in

o’rinli ekanini ko’rsatish mumkin. Bundan bo’lganda
₁  ₂
     _n  

_(ei ₎n
 e^in , n  0, 1,...
(1.23)

formulaga kelamiz. (1.23) va (1.15) formulalardan Muavr (1667-1754 y) formulasi

_zn
kelib chiqadi.
 (r cos  ir sin)ⁿ
 rⁿ (cos n  i sin n)
(1.24)

^{1.3-misol. Quyidagi kompleks sonlarni} a  ib
ko’rinishda tasvirlang :
^{( a  R ,} b  R ⁾

4
^ 1  i ^

z  (1  i 3)⁶ ; z  _{ } z  (1 i

3)³ (1 i)²

^{1 2} _ 1  i _ ³
Yechish. Kompleks sonlar ustida amallar va ko’rsatkichli shaklidan foydalanib topamiz:

z  (1  i
3)⁶  2⁶  1  i



^ i ^ 6

6
_  2⁶ e ³
_{ 2}6 _ei 2

 2⁶ ;


¹  _{2 2} 
 


 _{1 i} 4  _{1 i} 4

 4 ^{ }
  ^ 
i ^ 4

_{z  } 1  i
_{ } 2 2
^  2^{2  2 2
}  2^{2 e} 3 

^{2 } 1  i ^
_ 1 i

  ^{1 i} 

 i ^ 4

^{ }  ^   ^  ^{e 4}

_ 2 2
  

i ⁴ 
 _ 
  ^ ^

 2² e ³
 2² _cos_
  _  i sin _   _  2  i 2 .

_  ³   ³ _
 ⁱ  ⁱ

z₃  (1 i 3) (1 i)
3 2
i
 (2e
³ )³( 2e
⁴ )² 

 2³ e^i  2e ²
_i 
 2³  (1)2i  16i .

1.4-misol. a) Berilgan e ²
keltiring.
kompleks sonni algebraik shaklga

^b) cos x  i sin x  ¹  ³ i
2 4

tenglamaning haqiqiy ildizlarini toping.

^{i }  

Yechish. a) (1.15) formulaga asosan


_i
e ²  i .
e ²  cos

• 
  i sin
  

2 2
 0  i ,

b) Berilgan tenglama haqiqiy ildizga ega emas. Haqiqatdan bu

tenglama quyidagiga teng kuchli:

cos x  ^{1 ,}
2

sin x 

³ . Oxirgi
4

tenglamalar birgalikda bo’la olmaydi, chunki x ning hech bir qiymatida

cos² x  sin² x  ¹³
16

o’rinli bo’lishi mumkin emas.

Muavr formulasi yordamida cos 3 ni  argumentning trigonometrik funksiyalari orqali ifodalang.
Yechish. (1.23) va (1.24) formulalardan
z  cos 3  i sin 3  (cos  i sin )³  cos³   3i cos²  sin  
3i² cos sin²   i³ sin³   cos³   3cos sin²   i(3cos²  sin   sin³ ),
Re z  cos3  cos³   3cos sin²  .


J: сos3  cos³   3cos sin²  .



ADABIYOTLAR

1. 
   Alimov Sh. A. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari, o`rta maktabning 10-11 sinflari uchun darslik. Toshkent, “O`qituvchi”, 1996- yil va keyingi nashrlari.
   
2. 
   Kolmogorov A. N. tahriri ostida. Algebra va analiz asoslari. 10-11 sinflar uchun darslik. Toshkent, “O`qituvchi”, 1992-yil.
   
3. 
   Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun o`quv qo`llanma. Toshkent, “O`qituvchi”, 2001-yil.
   
4. 
   Abduhamidov A. U. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun sinov darsligi. Toshkent, “O`qituvchi”, 2001 yil.
   
5. 
   Antonov K. P. va boshqalar. Elementar matematika masalalari to`plami. Toshkent, “O`qituvchi”, 1975-yil va keyingi nashrlari.
   
6. 
   Skanavi M. N. tahriri ostida. Matematikadan masalalar to`plami. Toshkent, “O`qituvchi”, 1983-yil va keyingi nashrlari.