Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar

KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR. KOMPLEKS O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYALAR
4-AMALIY MASHG’ULOT. KOMPLEKS SONLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR.
Ta`rif: kompleks son deb ma`lum bir tartibda berilgan bir juft va haqiqiy sonlarga aytiladi va quyidagicha yoziladi: .

Yoki ko`rinishidagi songa ham kompleks son deyilib, bu kompleks sonning algebraik ko`rinishi deyiladi. Bunda va haqiqiy sonlar mos ravishda kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismi deb yuritiladi va quyidagicha simvol bilan belgilanadi: , (Realis va Imaginarius – lotincha so`zlar bo`lib, haqiqiy va mavhum demakdir)

Ushbu va ko`rinishidagi sonlar o`zaro qo`shma kompleks sonlar deyiladi.

– mavhum birlik bo`lib,

Shuning uchun: , , ,

Misollar. , ,

Kompleks sonlar ustida amallar

Agar va kompleks sonlar berilgan bo`lsa:

1. 
   Qo`shish va ayirish.
   

2. 
   Ko`paytirish va bo`lish
   

Agar va o`zaro qo`shma sonlar berilgan bo`lsa: ,

Misol. kompleks sonlarning yig`indisi, ayirmasi, ko`paytmasi va nisbatini toping.

Yechish. 1.

2.

3.

4.

Misol. sonni trigonometrik va ko`rsatkichli shaklga keltiring.

Yechish. . (85) ga asosan yoki (86) ga asosan:

Misol. ni hisoblang .

Yechish. Dastlab qavslar ichidagi sonni trigonometrik shaklga keltirib olamiz: . Endi (87) formulaga asosan, buni darajada ko`tarib soddalashtiramiz: Misol. ning qiymatlarini toping.

Yechish. Dastlab ni trigonometrik shaklga keltiramiz: va bo`lgani uchun



k=0 da

k=1 da

k=2 da

Ushbu va kompleks sonlar berilgan bo`lsin.

, ,

(89)

Demak, kompleks sonlarni ko`paytirishda modullari ko`paytiriladi, argumentlari qo`shiladi.

va kompleks sonlar berilgan bo`lsin.

(90)

Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sonlarni bo`lishda ularning argumentlari ayriladi, modullari bo`linadi.

kompleks sonini n-darajaga ko`taraylik.

yoki

(91).

Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sonni darajaga ko`tarishda modul va argument ham shu darajaga ko`tariladi.

Agar (91) da bo`lsa,

₍₉₂₎

Muavr formulasi hosil bo`ladi.

kompleks sonning n-darajali ildizi

bo`lsa, ya`ni

, , ,

uchun

,

(93)

Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sondan ildiz chiqarish uchun, moduldan shu darajali ildiz chiqariladi, argumenti esa ildiz ko`rsatkichiga bo`linadi.

Topshiriqlar.

Quyidagi kompleks sonlarning haqiqiy va mavhum qismlarini toping:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Quyidagi kompleks sonlarning moduli va argumentini toping hamda ularni trigonometrik shaklga keltiring.

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. .

Amallarni bajaring, hosil bo‘lgan kompleks sonlarning moduli va argumentini toping.

14. ; 15. ; 16. ;

17. ; 18. ; 19. .

Muavr formulasidan foydalanib ifodalarni soddalashtiring.

20. ; 21. ;

22. ; 23. .