Комплекс сонлар

Kurs ishining obyekti: Kompleks sonlar va ular ustida amallardan foydalanish
Kurs ishining predmeti: Kompleks sonlar va ular ustida amallardan foydalanish usullari metodologiyasi
Kurs ishining tarkibiy tuzilishi: Kurs ishi kirish, 6 ta paragrif, xulosa va tavsiyalar foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
II. ASOSIY QISM
2.1. Kompleks sonlar sistemasi haqida
Kompleks sonlar sistemasini kiritishdan avval tarixiy ma’lumotlarni keltirib o‘tamiz.
Qadimgi Yunon matematiklari faqat natural sonlarni “haqiqiy” deb hisoblashgan, ammo Qadimgi Misr va Qadimgi Bobilda yangi eradan ikki ming yillar muqaddam amaliy hisob-kitoblarda kasrlarni qo‘llay boshlashgan. Son haqidagi tushuncha taraqqiyotidagi navbatdagi muhim bosqich – manfiy sonlar bo‘ldi. Ularni xitoy matematiklari yangi eradan ikki asr oldinroq kiritishgan edi. Yangi eraning III asrida qadimgi yunon matematigi Diofant manfiy sonlarni ishlatgan. U bu sonlar ustidagi amallar qoidalarini ham bilgan. Hing olimlari VIII a asrda manfiy sonlarni mufassal o‘rganishdi, ular bu sonlarni “qarz” deb talqin qilishgan. Manfiy sonlar yordamida miqdorlarning o‘zgarishini yagona usulda bayon qilish mumkin edi. Eramizning VIII asridayoq musbat sonning kvadrat ildizi ikkita – musbat va manfiy qiymatga ega ekanligi, manfiy sonlardan esa kvadrat ildiz chiqarish mumkin emasligi, masalan. x²=-9 bo‘lgan x sonini topib bo‘lmasligini aniqlagan edi.
XVI asrda kub tenglamalarni o‘rganish munosabati bilan manfiy sonlardan ham kvadrat ildiz chiqarish zarurati tug‘ildi. Kub tenglamani yechish formulasida kub va kvadrat ildizlar qatnashadi. Bu formula tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo‘lsa, (masalan, x³+3x – 4=0 tenglama uchun) bekam-ko‘st yaraydi, tenglama uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lgan holda esa (masalan, x³-7x + 4=0 ) kvadrat ildiz ostida manfiy son hosil bo‘laveradi. Natijada tenglamaning bu uchta ildizini to-pish yo‘li taqiqlangan amal – manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish amali orqali o‘tardi. Hosil bo‘lgan paradoksni tushuntirish uchun italyan algebrachisi J. Kar- dano 1545 yilda yangi tabiatli sonlarni kiritishni taklif qildi. U haqiqiy sonlar to‘plamida yechimga ega bo‘lmagan x+y=10, xy=40 tenglamalar sistemasi , ko‘rinishidagi yechimlarga egaligini ko‘rsatdi, faqat bunday ifodalar bilan odatdagi algebraning qoidalari bo‘yicha deb hisoblab ishlashni kelishib olish (shartlashib olish) kerak. Kardano bunday miqdorlarni “sof manfiy” va hattoki “g‘ayri-mantiqiy manfiy” deb atadi, ularni foydasiz deb hisobladi va tatbiq qilmaslikka intildi. Biroq 1572 yildayoq italyan algebrachisi R. Bombellining bunday sonlar ustida arifmetik amallarning dastlabki qoidalari berilgan kitobi chiqdi. Kitobda bunday sonlardan kub ildiz chiqarish qoidasi ham keltirilgan edi. “Mavhum sonlar” nomini 1637 yilda fransuz matematigi va filosofi R. Dekart kiritdi, 1777 yilda esa XVIII a. ning yirik matematiklaridan biri L. Eyler -1 sonni (“mavhum” birlikni) belgilash uchun frabsuzcha “imagineire” (“mavhum”) so‘zining birinchi harfidan foydalanishni taklif etdi; bu simvol K. Gauss tufayli keng tarqaldi (1831). XVII asr davomida mavhumlikning arifmetik tabiati, ularga geometrik talqin berish imkoniyatining muhokamasi davom ettirildi.
Kompleks sonlar ustida amallar bajarish texnilasi asta-sekin rivojlana bordi. XVII va XVIII asr chegarasida, avval, manfiy sonlardan n-chi darajali ildizlarning umumiy nazariyasi, keyinchalik esa ingliz matematigi A. Muavrning formulasiga asoslanib ixtiyoriy kompleks sonlardan n-chi darajali ildiz nazariyasi yaratildi (1707). Bu formuladan foydalanib karrali yoylarning kosinus va sinuslari uchun ham tengliklar keltirib chiqarish mumkin. XVIII asr oxirida fransuz matematigi J. Lagranj mavhum miqdorlar endi matematik analizni qiynamay qo‘ydi, deb ayta olgan. Matematiklar o‘zgarmas koeffitsientli differensial tenglamalar yechimlarini kompleks sonlar yordamida ifodalashni o‘rganib olishdi. Bunday tenglamalar, masalan, moddiy nuqtaning qarshilik ko‘rsatuvchi muhitdagi tebranish nazariyasida uchraydi. Undan avvalroq shvetsariyalik matematik Ya. Bernulli kompleks sonlarni integrallari hisoblashga tatbiq qildi. XVIII asr davomida kopleks sonlar yordamida ko‘plab muammolar, jumladan, kartografiya, gidrodinamika va рюлю lar bilan bog‘liq amaliy masalalar ham haletilgan bo‘lsa-da, bu sonlar nazariyasi hali qat’iy mantiqiy asoslanmagan edi. Shuning uchun ham fransuz matematigi P. Laplas mavhum sonlar yordamida olinadigan natijalar – faqat yo‘llanma, ular bevosita qat’iy isbotlar bilan tasdiqlangandan keyingina chin haqiqat xarakterini oladi, deb hisoblagan.
Kompleks sonlarning geometrik talqini kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari bilan bog‘liq ko‘pgina tushunchalarni aniqlash imkonini beradi, ularning qo‘llanish sohasini kengaytiradi. Kompleks sonlar tekislikda vektorlar yordamida tasvirlangan kattaliklar bilan ish ko‘riladiganko‘pgina muammolarda: ыгнгйдшл oqimini o‘rganishda, elastiklik nazariyasi masalalarida foydalanish mumkinligi ravshan bo‘ldi.
Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi taraqqiyotida N. I. Musxelishvili ularni elastiklik nazariyasiga, M. V. Keldish, M. A. Lavrentyev aero- va gidrodinamikaga, N. N. Bogolyubov va V. S. Vladimirov maydonning kvant nazariyasi muammolariga tatbiqlari bilan shug‘ullandilar. O‘zbekistonlik matematik I. S. Arjanix kompleks sonlarni maydonlar nazariyasiga qo‘lladi.
Ma’lumki kvadrat tenglamalarni yechishda ba’zida ildiz ostida manfiy son hosil bo‘lib qoladi, ya’ni kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy sondan iborat bo‘ladi:

Bunda ildiz ostidan haqiqiy sonni chiqarish mumkin emas, u holda berilgan kvadrat tenglama ildizga ega emas. Shu vaqtgacha kvadrat ildiz chiqarish faqatgina musbat haqiqiy sonlar uchun aniqlanganligi o‘qitib kelingan. Manfiy haqiqiy sonlardan ildiz chiqarish ma’noga ega emas, ya’ni manfiy haqiqiy sonning kvadrat ildizi haqiqiy son bo‘lmasligi mumkin.
Diskriminanti manfiy sondan iborat bo‘lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sonlar tushunchasini kengaytirish lozim bo‘ladi. Bunday holda haqiqiy sonlar to‘plamiga kvadrati -1 ga teng bo‘lgan yangi i sonini kiritish maqsadga muvoffiq bo‘ladi. Bu sonni mavhum birlik deb atash qabul qilingan. U holda quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:
i²=-1
i soni bi ko‘rinishdagi ko‘paytma va a+ ib yig‘indini kiritish imkoniyatini beradi.
Ta’rif: a+bi ko‘rinishdagi ifodaga kompleks son deyiladi. Bunda a va b ixtiyoriy haqiqiy sonlar, i- mavhum birlik.
a soni a+bi kompleks sonning haqiqiy qismi, bi ko‘paytma esa mavhum qismi deb ataladi, b soni mavhum qismning koeffisiyenti deyiladi.
Masalan, 5+2i kompleks son uchun 5 soni haqiqiy qism, 2i esa mavhum qism bo‘ladi, uning koeffisiyenti 2 dan iborat; 0+7i sonning haqiqiy qismi 0, mavhum qismi 7i , mavhum qismning koeffisiyenti 7 dan iborat; 6-0i sonning haqiqiy qismi 6, mavhum qismi 0i, mavhum qismning koeffisiyenti 0 dan iboratdir.
Kompleks sonlar kiritilgach algebra, nazariy fizikaning gidrodinamika, elementar zarralar nazariyasi va hokazolardagi fikrlar hamda tushunchalar soddalashdi.
Ta’rif: Ikkita kompleks sonning haqiqiy qismlari teng va mavhum qismlarining koeffisiyentlari ham teng bo‘lsa, bu sonlar o‘zaro teng deyiladi, ya’ni a=c va v=d bo‘lsa, quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:
a+bi=c+di
Ikkita kompleks sonlar orasida «katta» yoki «kichik» munosabatlarni aniqlab bo‘lmaydi.
Kompleks sonlar uchun quyidagi qoidalar o‘rinli:
1. a+bi=c+di. (agar a=b, c=d bo‘lsa).
2. (a bi)+(c di)= (a c)+(b d)I (kompleks sonlarni qo‘shish va ayirish).
3. (a+bi) (c+di)= (as-bd)+(ad+bc)i (kompleks sonlarni ko‘paytirish).
4. (a+bi) (a-bi)= a² +b² (o‘zaro qo‘shma kompleks sonlar ko‘paytmasi).
5. a+0i=a (haqiqiy son bilan mavhum qism koeffisiyenti 0 bo‘lgan kompleks son).
6. 0+0i=0 (har qanday kompleks sonning 0 bilan ko‘paytmasi).
Ushbu C=RxR={(a,b): a,b Î R} to‘plamda tenglik munosabatini, qo‘shish va ko‘paytirish algebraik amallarini quyidagicha aniqlaymiz:
" (a,b), (c,d)Î C
(a,b)= (c,d)  (a=c)  (b=d);
(a,b)+ (c,d)=(a+c, b+d);
(a,b) (c,d)=(ac-bd; ad + bc).
U holda C = (C;+,) algebraik sistema maydon bo‘ladi.
Aytaylik, R ={(a,0): a Î R}C va f: R R akslantirishni "(a,0) 0Î R uchun f(a,0)=a ko‘rinishda aniqlasak, tekshirib ko‘rish osonki, f R ni R ga izomorf akslantirishdan iborat bo‘ladi. Shuning uchun ham R va R larni izomorfizm aniqlikda teng deyiladi va " ((a,0) Î R (a,0)=a deymiz.
z=a+bi va = a -bi kompleks sonlar o‘zaro qo‘shma deyiladi.