Kompleks sonlar nazariyasi

2-§. Kompleks sonning geometrik tasviri va trigonometrik shakli

Tekislikdagi nuqtalar bilan kompleks sonlar o’rtasida o’zaro bir qiymatli

moslik o’rnatamiz. Buning uchun tekislikda biror to’g’ri burchakga Dekart koordinatalar sistemasi kiritamiz. Natijada, tekislikdagi har bir nuqtaga haqiqiy

sonlarning а,b tartiblangan juftligi, ya’ni a, b C element mos qo’yiladi va

aksincha har bir a,b kompleks songa tekislikdagi koordinatalari a va b ga teng nuqta mos keladi. Shu munosabat bilan tekislikning o’zini kompleks deb ataladi.

Bunda haqiqiy sonlarga a, о ko’rinishdagi, ya’ni abssissalar o’qida yotuvchi

nuqtalar mos keladi. Ordinatalar o’qidagi nuqtalarga esa o,b mavhum sonlar

mos keladi. Shuning uchun kompleks tekislikning abssissalar o’qini haqiqiy o’q, ordinatalar o’qini esa mavhum o’q deb ataladi.

Odatda, z = (a, b) kompleks son tekislikdagi koordinatalari a va b sonlardan iborat nuqta orqali yoki abssissa va ordinatalar o’qidagi proyeksiyalari mos ravishda a va b ga teng bo’lgan vektor orqali tasvirlanadi. Ko’pincha z nuqta yoki z vektor ham deb aytiladi. Kompleks son z = a + bi ning absolyut

qiymati deb

z  z 

haqiqiy songa aytiladi. Absissalar o’qining

musbat yo’nalishi va z vektorning yo’nalishi orasidagi  burchak z kompleks sonning argumenti deyiladi va arp z orqali belgilanadi. 0 sonning argumenti aniqlanmagan.

Ixtiyoriy noldan farqli z = (a,b) kompleks sonni va tekislikda unga mos keluvchi vektorni qaraymiz. z nuqtaning tekislikdagi holatini uning qutb koordinatalari: koordinatalar boshidan z nuqtagacha bo’lgan masofa r, ya’ni z

va absissa o’qining musbat yo’nalishi bilan z vektor yo’nalishi orasidagi  = arg z burchaklar to’liq aniqlaydi.

Agar z = a + bi bo’lsa, u holda

cos  ^a ,

r

sin  ^b . Bundan har bir z

r

kompleks son uchun

z  r (cos  i sin )

kelib chiqadi. Kompleks sonning

bunday ko’rinishi uning trigonometrik shakli deyiladi.

Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko’paytirish va bo’lish amallari quyidagicha amalga oshiriladi:

z₁  r₁ (cos₁  i sin₁ ), z₂  r₂ (cos ₂  i sin ₂ )

bo’lsin. U holda

z₁ z₂

 r₁r₂ (cos(₁   ₂ )  i sin(₁   ₂ )),

z_{1 }

z₂

^r1 (cos( r₂

  ₂

)  i sin(₁

  ₂

)).

z₂  0.

1
1-m i s o l.

z  son tekislikda z ni tasvirlovchi nuqtadan koordinatalar

boshigacha bo’lgan masofadan iborat. Boshqacha aytganda sonni ifodalovchi vektorning uzunligidir. ■