Kompleks o‘zgaruvchili elementar funksiyalar

Xossalari: uzluksiz, ikki qiymatli, bir varaqli. w ning bitta qiymati z dan argz burchagini ikki marta kichraytirish va uzunligini

marta kichraytirishdan hosil qilinsa, ikkinchi qiymati birinchi qiymatining koordinatalar boshiga nisbatan simmetrigidan olinadi.

3. 
   Kompleks o„zgaruvchili kasr chiziqli funksiya _w ^{az b} ,
   

cz d

ad cb c, 0.

Xossalari: _z ^d da uzluksiz, bir qiymatli, bir varaqli. c

3. 
   Kompleks o„zgaruvchili ko„rsatkichli funksiya w e .
   

1 ^z ... ^zn ...

1! n!

kompleks sonlar qatori absolyut yaqinlashuvchi. Bu qatorning yig„indisini e^z orqali belgilaymiz va uni kompleks o„zgaruvchili ko„rsatkichli funksiya deb ataymiz:

e^z 1 ^z ... ^zn ...

1! n!

e^z uchun ko„rsatkichli funksiyaning asosiy xossasi o„rinli: ez1 z2 ez1 ez2 . Kompleks o„zgaruvchili ko„rsatkichli funksiya T 2 i davrli davriy funksiyani ifodalaydi.

3. 
   Kompleks o„zgaruvchili trigonometrik funksiyalar.
   

Kompleks o„zgaruvchili trigonometrik funksiyalar quyidagi qatorlar yig„indisi sifatida ta‟riflanadi:

sinz

2. 
   cosz
   

2! 2n !

Bu qatorlarning har biri absolyut yaqinlashuvchi ekanligidan, funksiya har bir kompleks son uchun aniqlanadi. Ko„rsatkichli va trigonometrik funksiyalar quyidagi formula orqali bog„langan:

e^iz cosz isinz.

Bu formulaga Eyler formulasi deyiladi. Undan quyidagi formula kelib chiqadi:

e ^iz cosz isinz .

Bu formulalarni qo„shish va ayirish orqali yana ikkita formulani hosil qilamiz:

cosz eiz e iz , sinz eiz e iz .

2 2i

Bu formulalardan kompleks o„zgaruvchili trigonometrik funksiyalarning huddi haqiqiy o„zgaruvchili funksiyalar kabi 2 davrga egaligi kelib chiqadi. tgz ^va ctgz funksiyalar ham haqiqiy o„zgaruvchili funksiyalar

kabi aniqlanadi:

tgz sinz , ctgz cosz

3. 
   Giperbolik funksiyalar.
   

Kompleks o„zgaruvchili giperbolik funksiyalar quyidagi qatorlar yig„indisi sifatida ta‟riflanadi:

shz

2. 
   chz
   

2! 2n !

Bu qatorlarning har biri absolyut yaqinlashuvchi ekanligidan, funksiya har bir kompleks son uchun aniqlanadi. Ko„rsatkichli funksiyaning ta‟rifidan

ez

chz

2 2

f ormulalar kelib chiqadi. Giperbolik funksiyalar trigonometrik funksiya larning xossalariga o„xshash xossalarni qanoatlantiradi, masalan: ch z₁ z₂ chz chz_{1 2} shz shz_{1 2}, ch z² sh z² 1.

Kompleks o„zgaruvchili giperbolik funksiyalarning davri

T 2 ni ga teng. Kompleks o„zgaruvchili giperbolik funksiyalar va trigonometrik funksiyalar orasida quyidagi munosabatlar o„rinli: chiz cos , cosz iz chz shiz, isin , sinz iz ishz.

9. 
   Kompleks o„zgaruvchili logarifmik funksiya.
   

K o„rsatkichli funksiyaga teskari funksiya logarifmik funksiya deyiladi va Lnz bilan belgilanadi. Shuning uchun, ^agar w Lnz bo„lsa, u

h olda ew z bo„ladi. w x iy deb belgilaymiz. Oxirgi tenglikdan e^{x iy} z cosargz isinargz e, ^x cosy isiny z cosargz isinargz ,

e^x z , x ln z , ^cossiny^y sinarg^{cosarg ,}z^z , y argz 2 k k,

larni hosil qilamiz. Bu yerdan Lnz ln z i argz 2 k , k ni olamiz.

Logarifmik funksiyaning ko„p qiymatliligi e^z funksiyaning davriyligidan kelib chiqadi;

9. 
   Teskari trigonometrik funksiyalar.
   

Arcsin ,z Arccos ,z Arctgz Arcctgz, teskari trigonometrik funksiyalar sin ,cos ,z z tgz ctgz, funksiyalarga teskari funksiya sifatida

Teskari trigonometrik funksiyalarning bir qiymatli bosh tarmoqlari arcsin , arccos ,z z arctgz, arcctgz kabi belgilanadi.

9. 
   Teskari giperbolik funksiyalar.
   

Arcshz, Arcchz, Arcthz, Arccthz teskari giperbolik funksiyalar shz chz thz cthz, , , funksiyalarga teskari funksiyalar sifatida aniqlanadi.

9. 
   Umumlashgan darajali funksiya va umumlashgan ko„rsatkichli funksiya. za. az