Компьютер графикаси

2.1. Tekislik va fazodagi almashtirishlar

Tekislikdagi (ikki o‘lchovli) almashtirishlar.
Ikki o‘lchovli barcha narsalarni kompyuter grafikasida 2D (2-dimension) belgisi bilan ifodalash (kiritilgan) qabul qilingan [8].
Faraz qilamizki tekislikda to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasi kiritilgan (berilgan) bo‘lsin. Unda har qanday M nuqtaning koordinatasini aniqlash uchun ikki juft (x, y) sonlari olinadi.
Ushbu tekislikda yana bitta to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasini kiritgan holda M nuqta uchun yangi mos juft koordinatalarni hosil qilamiz.
Tekislikda bitta to‘g‘ri chiziqli koordinatalar sistemasidan boshqasiga o‘tish quyidagi tenglamalar orqali amalga oshiriladi:


(1)

Bu yerda , , , , ,  - ixtiyoriy sonlar.

Boshqa tomondan qaraganda, agar biz nuqta o‘zgarib koordinatalar sistemasi o‘zgarmas deb qabul qilsak, u holda (1) formulalar nuqtani nuqtaga almashtirishini ifodalaydi (2.1-rasm).


2
.1-rasm. Tekislikdagi (ikki o‘lchovli) almashtirish.

(1) formulalarni nuqtani almashtirishni ifodalaydi deb qabul qilamiz.

Almashtirish formulalaridagi koeffisientlarning geometrik ma’nosini o‘rganish uchun berilgan koordinatalar sistemasini to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi deb hisoblash qulay.
Ikki o‘lchovli almashtirishlarning xususiy hollarini ko‘ramiz.

1. 
   Ko‘chish.
   

nuqtani nuqtaga ko‘chish berilgan  va  ko‘chish konstantalari vektorining koordinatalariga qo‘shish orqali amalga oshiriladi

2. 
   Masshtablash. Cho‘zish (siqish).
   

Koordinatalar o‘qlari bo‘yicha cho‘zish (yoki siqish) ko‘paytirish orqali ifodalanadi:

- masshtablash koeffisientlari bo‘lib mos ravishda va o‘qlari bo‘yicha cho‘zish va siqishni bildiradi.
Agar bo‘lsa koordinata o‘qlari bo‘yicha cho‘zish va bo‘lsa, siqish ta’minlanadi.
Cho‘zish (siqish) almashtirishlarini vektor-matritsa shaklida kuyidagicha yozish mumkin:

3. Burish.
Burish quyidagi formula orqali beriladi:

Bu yerda koordinatalar sistemasining boshlang‘ich nuqtasi bo‘ylab soat yo‘nalishiga nisbatan teskari  burchakka burish bajariladi.
Vektor-matritsa shaklida burishni quyidagicha yozish mumkin:

4. 
   Akslantirish.
   

Tekislikda akslantirish koordinatalar sistemasining o‘qlariga nisbatan bajariladi. Abtsissa o‘qiga nisbatan akslantirish quyidagicha ifodalanadi:

Vektor-matritsa shaklida esa:

Ordinata o‘qiga nisbatan akslantirish quyidagicha ifodalanadi:

Vektor-matritsa shaklida:

Almashtirishlarni yuqoridagi berilgan to‘rtta xususiy holini berilishidan maqsad:

• 
  har qaysi almashtirish oddiy va tushunarli geometrik ma’noga ega;
  
• 
  ixtiyoriy almashtirishni ularni ketma-ket bajarish (superpozisiyasi) orqali ifodalash mumkin.
  

2.2-rasm. Tekislikdagi (ikki o‘lchovli) almashtirishlar.

Ammo keyingi masalalarni ko‘rish uchun to‘rtta oddiy almashtirishlarni ham (ko‘chirishni hisobga olgan holda) matritsa shaklida ifodalash kerak.