Kommunikatsiyalari rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi yoshken axborot texnologiyalari unversiteti qarshi filiali

1- xossa. Algebraik yig'indidan olingan ayirmalar nisbati qo‘shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig‘indisiga teng.

2- xossa. O ‘zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

3- xossa. Ayirmalar nisbati o ‘z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir.

4- xossa. m-darajali algebraik ko ‘phaddan olingan k-tartibli ayirmalar nisbati, agar k>m b o ‘lsa nolga, k = m da o'zgarmasga va k< m b o ‘lsa argumentlariga nisbatan

(m - k )-darajali simmetrik birjinsli k o ‘phadga teng.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya uchun y₁= f(x) qiymatlar berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng uzoqlikda joylashgan bo'lsin, ya’ni x_i=x₀+ih (i=0,1,2,.... h) (h- interpolyatsiya qadami). Argumentning mos qiymatlarida darajasi h dan oshmaydigan mos qiymatlar oladigan ko'phad tuzish lozim bo'lsin va bu ko'phad quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)(x-x₁)+..+a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1) (7)

Bu n-tartibli ko'phad. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko'ra

P_n(x) ko'phad x₀, x₁ ..., x_n interpolyasiya tugunlarida P_n(x₀)=y₀,P_n(x ₁)=y ₁, P_n(x₂)=y₂ .... , P_n(x_n)=y_n qiymatlarni qabul qiladi, x=x0 deb tasavvur etsak, (7) formuladan y₀=P_n(x₀)=a₀, ya’ni a₀=u₀, so'ngra x ga x₁ va x₂ larning qiymatlarini berib, ketma-ket quyidagiga ega bo'lamiz:

ya`ni

Yoki y₂-2y₁+y₀=2h²a₂,bundan

Bu jarayonni davom ettirib, x=x_n uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Topligan a₀,a₁,a₂,…,a_n koeffitsientlarning qiymatlarini (7) formulaga qo'ysak,

(8)

ko'rinishga ega bolamiz. Bu formulada

ya`ni x=x₀+hq belgilash kiritilsa, u holda

Natijada Nyutonning 1-interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz:

(9)

Nyutonning 1- interpolyatsion formulasini [a, b] ning boshlangich nuqtalarida qollash qulay.

Agar n=1 bo'lsa, u holda P₁(x) = y ₀ +qy₀ko`rinishidagi chiziqli interpolyatsion formulaga, n=2bo'lganda esa

ko'rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo'lamiz.

Nyutonning 1- formuiasini oldinga qarab inierpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi.

(9) formulaning qoldiq hadi

(10)

bu yerda ϵ[x₀,x_n].

Funksiyaning analitik ko'rinishi har doim ham ma’lum bo'lavermaydi. Bunday hollarda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. U holda Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik

(11)

formula orqali topiladi.

Nyutonning birínchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.

Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bolsín,ya’ni argumentning

n= 1 x₀, x₁,x₂,...x_n qiymatlarida funksiyaning qiymatlari y₀,y₁, ...y_n bo`lsin. Tugunlar orasidagi masofa h o'zgarmas bo’lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni

quramiz:

(12)

Bunda qatnashayotgan a₀, a₁ .... a_n noma’lum koeffitsientlarni topishni x=x_n bo’lgan holdan boshlash kerak. So'ngra argumentga x_n-1,x_n-2, ... qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar aniqlanadi.

Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (12) formula uchun ham qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a₁, a₂ , ....a_n larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga qo‘ysak,

(13)

ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada q={x-xn)/h belgilash kiritsak,

(14)

hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (14) formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.

Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi quyidagicha boladi:

bu yerda q=(x-x_n)/h,ϵ [x₀, x_n].

Agar funktsiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi

bo`ladi.

Aniq integralning tatbiqlari

Reja:

1. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari.

2. Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash.

3. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.

4. Aylanma jism hajmini hisoblash.

5. Aniq integralning iqtisodiyotga tatbiqlari.

6. Xulosa.

 

  1.Kattaligi o’zgaruvchan va f(x) funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani a, b kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan A ish

A=abf(x)dx

Formula bilan hisoblanadi.

Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning [a, b] vaqt oralig’ida bosib  o’tgan S masofasi S=vb-a formula bilan hisoblanadi.

Tezligi har bir t vaqtda o’zgaruvchan va v=vt funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning [a, b] vaqt oralig’ida bosib o’tgan s masofasi

S=abv(t)dt

Formula bilan aniqlanadi.

Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda m massaga ega bo’lgan A moddiy nuqta berilgan  bo’lib, bu  nuqtadan  biror l o’qqacha ( yoki O nuqtagacha) bo’lgan masofa r ga teng bo’lsin. U holda J=mr2 miqdor A moddiy nuqtaning l o’qga (O nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.

Masalan, tekislikdagi m massaga ega bo’lgan A=A(x,y)  moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

Jx=mx2,         Jy=my2,      J0=m(x2+y2)

Formulalar orqali hisoblanadi.

Masalan, tekislikda har biri mos ravishda m0, m1,…, mn-1 massaga ega bo’lgan  A0(x0,y0), A1(x1,y1), …, An-1(xn-1,yn-1) moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

Jxn=k=on-1mkxk2,     Jyn=k=on-1mkyk2,    J0n=k=on-1mk(xk2+yk2 )

Formulalar orqali ifodalanadi.

Biror y=f(x) egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari

Jx=abx21+f’x2dx,         Jy=abf2x1+f’x2dx

J0=ab(x2+f2(x))1+[f’(x)]2dx

Formulalar orqali ifodalanadi.

Oxy tekislikda massalari m1, m2,..,mn bo’lgan P1x1,y1, P2x2,y2,…,Pnxn,yn material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, ximi va  yimi ko’paytmalar mi massaning ox va oy o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.

Berilgan sistemaning og’irlik markazi  koordinatalarini xc va yc lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan

Xc=x1m1+x2m2+…+xnmnm1+ m2+ … +mn=i=1nxi

BERILGAN ORALIQDA FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH.

TOQ VA JUFT FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH.

Reja.

1. 
   Toq va juft funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.
   
2. 
   Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori.
   

1. 
   Toq va juft funksiyalarni Furye qatori
   

Bizga davri T = 2π bo’lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya’ni f (x + 2π) = f (x). Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:

Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.

Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda

Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo`yamiz:

F(x) funksiya toq bo’lsa,

F (x) funksiya juft bolsa, ya’n

Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya, juft

Va toq funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e’tiborga olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.

1. 
   F (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin.
   

Juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, bk = 0.

2. 
   F (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan toq funksiya bo lsin.
   

Toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslardan iborat ekan, ao = 0, ak = 0

Misol. Davri T = 2π ga teng bo’lganFunksiyaning Furye qatoriga yoying.

Yechish. Juft funksiya (-π, π) intervalda Dirixle shartlarini qanoatlantiradi (1-shak1).

1 – shakl.

3. 
   Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori.
   

Endi ixtiyoriy 2l davrli, Dirixle shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani qaraymiz.

O’rniga qo’yish bizni funksiyaga olib keladi, bu funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:

Bu yerda

Qatorda va Furye koeffitsentlari formulalarida yangi t o’zgaruvchidan eski x

O’zgaruvchiga qaytib va , ekanini hisobga olib, quyidagiga ega bo’lamiz: (1)

Bu yerda

(2)

Koeffitsentlari (2) formulalari bilan aniqlanadigan (1) gator ixtiyoriy 21 davrli f(x) funksiya uchun Furye qatori deyiladi.

21 davrli juft funksiya uchun hamma bk = 0 bo’ladi, demak Furye qatori faqat kosinuslarni o’z ichiga oladi:

Bu yerda

21 davrli toq funksiya uchun esa hamma ak = 0 va a0 = 0 bo’ladi, demak, Furye qatori faqat sinuslarni o’z ichiga oladi:

Bu yerda

Ko’pincha [0,l] kesmada (yarim davrda) berilgan f(x) funksiyani sinuslar bo’yicha yoki kosinuslar bo’yicha yoyish masalasi talab etiladi.

F(x) funksiyani kosinuslar. Bo’yicha qatorga yoyish uchun funksiya juftligicha

Kesmadan [-1,0] kesmaga davom ettiriladi. U holda «davom ettirilgan» juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslarni o’z ichiga oladi. Agar f(x) funksiyani qatoriga sinuslar bo’yicha yoyishni istasak, u holda funksiyani toqligicha [0,l] kesmadan [-l,0] kesmagacha davom

Ettiramiz, bunda f (x) = 0 deb olishimiz kerak. «Davom ettirilgan» toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslarni o’z ichiga oladi.

Aslida kesmadan-kesmaga davom ettirishni amalga oshirmasa ham bo’ladi, chunki Furye koeffisentlarini hisoblash formulalaridan juft yoki toq funksiya holida f (x) funksiyaning [0,1] kesmadagi qiymatlari qatnashadi.

1-misol. Funksiyani [0,l] kesmada sinuslar bo’yicha qatorga yoying.

2-shakl.

F(x) funksiyaning [– l,0] kesmaga toq davom ettirish va undan keyingi davriy davom ettirish grafigi yuqoridagi 2-shaklda ko’rsatilgan.

F (x) funksiya toq va Dirixle shartlarini qanoatlantiradi.

Demak,

Izlanayotgan yoyilma quyidagi ko’rinishga ega:

2-misol. Funksiyani kesmada kosinuslar bo’yicha qatorga yoying.

Yechish. Juft davom ettirish va undan keyingi davriy davom ettirish bo’yicha grafikni yasaymiz(3-shakl)

3-shakl.

Funksiya juft , shu sababli,

Demak,

X = 0 deb, quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan.

Xulosa

Men bu mavzuni o’rganishda Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori va koeffitsientlarini qanday hisoblash, [-π,π] kesmada juft va toq funksiyalar uchun Furye koeffitsientlarini aniqlash, funksiyani juft va toq davom ettirish, yarim davrda berilgan funkiyani sinuslar va kosinuslar bo’yicha qatorga yoyishni o’rgandim. Shu bilgan birga Furye qatori yordamida qatorlarning yig’indisini topishni ham bilib oldim. Xulosa qilib aytamanki, bu mavzuni yoritish orqali bilimlarim kengaydi.

IKKI KАRRАLI INTЕGRАLNING TATBIQLАRI. IKKI KАRRАLI INTЕGRАL YORDAMIDA YUZA VA JISM HAJMINI HISOBLASH. MASSA, OʻRTA QIYMAT VA INERSIYA MOMENTI.

Rеja:

1. 
   Ikki karrali intеgrаlning geometrik tatbiqlari:
   

a)tekis shakl yuzini va jism hajmini hisoblash;

b)sirt yuzini hisoblash.

2.Ikki karrali intеgrаlning fizik tatbiqlari:

a)massa va ogʻirlik markazini hisoblash;

b)statik moment va inersiya momentini hisoblash.

Tayanch ibora va tushunchalar

Ikki karrali integral yordamida yuza hisoblash, jism hajmini hisoblash, sirt yuzini hisoblash, massa hisoblash, ogʻirlik markazi, statik moment, inersiya moment.

1. 
   Ikki karrali integralning geometrik tatbiqlari.
   
   1. 
      Agar D sohada boʻlsa, u holda ikki karrali integral son jihatidan asosi D boʻlgan yasovchilari Oz oʻqiga parallel boʻlgan, yuqoridan sirt bilan chegeralangan Q silindrik jismning hajmiga teng (1- shakl).
      

(25.1)

1-shakl

1-misol. Sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini hisoblang.

Yechish. Berilgan jismni quyidagi koʻrinishda tasvirlash kerak:

Bunda ― soha Oxy tekislikning va egri chiziqlari bilan chegaralangan qismi, ya’ni

Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra, jismning hajmi quyidagicha topiladi:

Xususan, boʻlganda, ikki karrali integral D sohaning yuziga teng, ya’ni (25.2)

Agar D sohani aniqlaydigan funksiyalar qutb koordinatalar sistemasida berilgan boʻlsa, D sohaning yuzi (25.3)

Formula bilan hisoblanadi.

2-misol. Aylanalar bilan chegaralangan soha yuzini toping( aylanadan tashqaridagi qismi, 2-shakl).

2-shakl

Yechish. A nuqtaning koordinatasini topamiz:

Demak, . U holda

2. 
   Agar silliq sirt qismining xOy tekislikdagi proyeksiyasi boʻlsa, u holda bu sirt yuzini quyidagi formula bilan hisoblanadi:
   

(25.4)

3-misol. Konusning silindr ichidagi qismi yuzini hisoblang.

Yechish. Berilgan konus sirti qismining proyeksiyasi soha silindr asosi boʻlib, aylana cizig`I bilan chegaralangan sohadir(3-shakl).

Yuqoridagi (25.4) formulani funksiya uchun qoʻllaymiz:

U holda izlangan yuza:

3-shakl

2. 
   Ikki karrali intеgrаlning fizik tatbiqlari
   

Agar D soha modda taqsimotining sirt zichligiga ega, xOy tekislikda yotuvchi qalinligi bir boʻlgan yassi jism boʻlsa, u holda yassi jismninig massasini quyidagi formula bilan hisoblanadi: (25.5)

Yassi jismning Ox va Oy oʻqlariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar boʻyicha topiladi:

. (25.6)

Yassi jismning ogʻirlik markazi koordinatalari: (25.7)

D yassi jismning koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari:

(25.8)

Formulalar bilan hisoblanadi.

4-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan sohaning oʻgirlik markazini toping(4-shakl).

4-shakl

Yechish. Berilgan soha Ox oʻqiga simmetrik boʻlganligi sababli , boladi. Ni topamiz. Berilgan soha yuzini hisoblaymiz

U holda, (25.7) formuladan foydalanamiz

5-misol. Sirt zichligi boʻlgan, Ox oʻqi , parabola va toʻg‘ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli uchburchakdan iborat D yassi jism massasini hisoblang.

Yechich. Yassi jism massasini hisoblash uchun dastlab D sohani aniqlaymiz:

(25.5) formulaga koʻra,

6-misol. Zichlikka ega boʻlgan, egri chiziqlar bilan chegaralangan va I chorakda joylashgan yassi jismning koordinata oʻqlariga nisbatan inersiya momentlarini toping.

Yechish. Berilgan D yassi jism 5-shaklda tasvirlangan.

5-shakl

(25.8) formulalarga koʻra quyidagiga egamiz:

Bu integrallarni qutb koordinatalariga oʻtib hisoblash qulay:

Egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:

Egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:

U holda burchak dan gacha oʻzgaradi. Kesmadan olingan ning har bir qiymatida oʻzgaruvchi dan gacha oʻzgaradi.

Ketma-ket (25.8) formuladan foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:

Oʻxshash holda quyidagini topamiz:

7-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan sohaning koordinata boshiga nisbatan inersiya momentini hisoblang.

Yechish. Koordinata boshiga nisbatan inesiya momenti quyidagi formula bilan hisoblanadi: