Kombinatorika – bu matematikaning chekli to‘plam elementlarini berilgan qoidalar asosida tanlash va joylashtirish bilan bog‘liq masalalarni yechish usullarini o‘rganuvchi bo‘limdir. Kombinatorikaningasosiyqoida vaformulalari

O’rinlashtirishlar

A ^{alfavitn ta belgidan tashkil topgan bo‘lsin.Uzunligimga teng bo‘lgan}so‘zlar(ya’niuzunligimgatengbo‘lganketma-ketliklar)soninisanabchiqaylik.
Harbirso‘znitashkiletganbelgilarorasidagitakrorlanadiganlaribor

bo‘lganholdabundayso‘zlarsonini




n
A^m(n taelementdan mtadantakrorli

A

n
o‘rinlashtirishlarsoni), bubelgilarningbarchasiharhilbo‘lganholda ^m
(takrorsizo‘rinlashtirishlarsoni)debbelgilaymiz.
Buikkimiqdoruchunformulalarquyidagicha:

n
^Amnm,
A^mn(n1)(n2) (nm1)
n! _.
(nm)!

n
Buyerdan!123...n, 0!1(n–faktorialdebo‘qiladi)
^Endiuzunligim^{danko‘pbo‘lmaganso‘zlarsoninisanabchiqaylik.}
Bundaqo’shish(jamlash)qoidasigako‘raso‘zlarnitashkiletganbelgilarorasidagi takrorlanadiganlari bor bo‘lgan holda bunday so‘zlar soni
n

n n n n n
_^{AkA0A1A2...Am1nn2n3...nm}ga,
k0
bubelgilarningbarchasiharhilbo‘lganholda

_^{AAAA...A}gateng.
n
k 0 1 2 m
n n n n n
k0
Misol.1)20tabelgidantashkiltopganalfavitberilganbo‘lsin.
Uzunligi3gatengbo‘lganso‘zlarsoninisanabchiqaylik.Bundabelgilarningbarchasitakrorlanmasin.

A

20
Yechilishi. ³ 20(201)(202) 6840
2)20tabelgidantashkiltopganalfavitberilganbo‘lsin.
Uzunligi3gatengbo‘lganso‘zlarsoninisanabchiqaylik.Bundabelgilarningayrimlari takrorlanishimumkin.

Yechilishi.




20

A
^{32038000}.■

O’rinalmashtirishlar.

n^{taelementlio‘rinalmashtirishlardeb,bir-biridanfaqatelementlarining
tartibibilanfarqqiladigan}n^{ta elementli birikmalarga aytiladi.}

^Masalan,3taA,
B va C
elementdan6tao‘rinalmashtirishbajarish

mumkin:
ABC,
BAC,
ACB,
CAB,
CBA,
BCA^.

n ^{taelementlio‘rinalmashtirishlarsoniquyidagiformulayordamida}

hisoblanadi:
^{Pn12 }^n1^nn!

Misol.1)Afsuski,bugun,yomg‘ir,yog‘adiso‘zlaridannechtagaptuzishmumkin?

Yechilishi.
P₄123424. ■

2)w,e,d,i,g,m,a,t,hharflarining“we”,”dig”,”math”so‘zlaridanhechqaysisinio‘zichigaolmaganbarchao‘rinalmashtirishlarnechta?Masalan,d,g,i,w,e,t,h,m,a shushartni qanoatlantirmaydi.
Yechilishi.Barcha o‘rinalmashtirishlarsoni9!362880ga teng.
“we”so‘zini o‘zichigaolmaganbarchao‘rinalmashtirishlarto‘plaminiA₁
,”dig”so‘zinio‘zichigaolmaganbarchao‘rinalmashtirishlarto‘plamini A₂

”math”so‘zinio‘zichigaolmaganbarchao‘rinalmashtirishlarto‘plaminiA₃
deylik.
Kamidabittaso‘znio‘zichigaolmaganbarchao‘rinalmashtirishlarsoni

A₁
gateng.Ravshanki,
A₂ A₃

• 
  A₁
  

• 
  A₁
  

A₁8! (we,d,i,g,m,a,t,helementlarning o‘rin almashtirishlari soni),A₂7! (w,e,dig,m,a,t,helementlarning o‘rin almashtirishlari soni),A₃6!(w,e,d,i,g,mathelementlarningo‘rinalmashtirishlarisoni),

A₁ A₂
A₂ A₃
A₁ A₃A₁
6!(we,dig,m,a,t,helementlarningo‘rinalmashtirishlarisoni),
4!(w,e,dig,math) elementlarningo‘rinalmashtirishlarisoni),
5!(we,d,i,g,math) elementlarning o‘rin almashtirishlari soni),(we,dig,math)elementlarningo‘rinalmashtirishlarisoni).

Demak, A₁ A₂ A₃ 8!7!6!6!5!4!3!45222.
U holda, “we”,”dig”,”math” so‘zlarini o‘z ichiga olmagan barcha o‘rin
almashtirishlarsoni 9!4522236288045222317658.
Farazqilaylik, qandaydirso‘znitashkilqilganbelgilarorasidaaynanbirxil

n₁tabirinchitur,birxil
n₂taikkinchitur,vahokazo,birxil
n_kta
k-turbelgilar

bo‘lsin,buyerda
n₁ ,
n₂,…n_k
–naturalsonlar.Bubelgilarningo‘rinlarini

almashtirish natijasida hosil bo‘lgan so‘zlar takrorli o‘rin almashtirishlar
(anagrammalar)debataladi.

Barchaanagrammalarsonini
P(n₁,n₂,...,n_k)
bilanbelgilasak,uuchun

P(n,n,...,n
_{) }(n₁n₂...n_k)!

formulao‘rinlidir.

1 2 k
n₁!n₂!...n_k!

Misol.KOMBINATORIKAso‘zidannechtaanagramma tuzishmumkin?
Yechilishi.Buso‘zikkitaK, ikkitaO,bittaM,bittaB,ikkitaI,bittaN,ikkitaA,bittaTvabittaRharfidantashkiltopganligibois,anagrammalarsoni

P(2,2,1,1,2,1,2,1,1) 
13!
_13!

gateng.

2!2!2!2! 16

Ayrim anagrammalar nafaqat ma’noga, balki dastlabki so‘zga (yoki so‘zbirikmasiga)qarama-qarshima’nodagiso‘zni(yokiso‘zbirikmasini)tashkilqiladi.
Ulardanayrimlarinikeltiramiz:

1. 
   evilsagents(jahannamelchilari)–evangelists(evangelistlar)
   
2. 
   realfun(kattaxursandchilik)–funerals(dafnmarosimi)
   
3. 
   nomorestars(boshqayulduzlaryo‘q)–astronomer(astronom)
   

Birikmalar.

Agarelementlartartibinazardasoqitqilinsa,shundaymasalavujudgakeladi:nelementlito‘plamdannechtamelementliturliqismto‘plamajratishmumkin? Bunday qism to‘plamlar n ta elementdan m tadan tuzilgan birikmalardeyiladi.
^{Uzunligingatengbo‘lganvatarkibidaaynanmta}a ^{harfbo‘lgan}

a...ab...b
m nm
ko‘rinishdagiso‘zbundaybirikmanitashkilqiladi.

Birikmalarsoni^{Cmn n!} formulasibilanhisoblanadi.

n  

m
 
m!(nm)!

Misol.Ikkitaunlivauchtaundoshfonemadaniboratbeshfonemaliso‘zlar
soni

C²
5!_12345_10

gateng.

⁵ 2!3! 12123
KOMBINATORIKA MAVZUSI BO’YICHA 50 TA TEST.
Ko’paytma va yig’indiga oid masalalar
1. Savatda 4 ta anor, 5 ta nok va 6 ta olma bor. Savatdan bitta meva tanlashni nechta usulda amalga oshirish mumkin. A) 15 B) 120 C)74
Yechish:
2.Savatda 4 ta anor, 5 ta nok va 6 ta olma bor. Savatda ikkita turdagi mevani tanlashni necha usulda tanlash mumkin. A) 20 B) 120 C) 74
3. Anvar (uyidan maktabga, maktabdan savdo markaziga borishi uchun) yoʻlni necha xil usulda tanlashi mumkin? B) 5 C) 2 D) 6
4. Bir mamlakatda 4 ta shahar bor ekan: A, B, C va D. A shahardan B ga 5 ta yoʻl, B shahardan C ga 4 ta yoʻl olib borarkan. A dan D ga 6 ta yoʻl, D dan C ga 3 ta yoʻl bilan borish mumkin ekan. A shahardan C shaharga necha xil yoʻl bilan borish mumkin? A) 38 B) 30 C) 18
5. 5 ta oq, 2 ta qizil va 4 ta sariq atirgul bor. Uchta har xil guldan iborat guldastani necha usulda tuzish mumkin? A) 24 B) 11 C) 18 D) 40
6. 40 xil bolt va 13 xil gaykadan bittadan olinib, necha xil juftlik tuzish mumkin? A) 520 B) 420 C) 53 D) 27
7. Maktab oshxonasida oq non, qora non va uch xil kolbasa bor. Ulardan necha xil buterbrod tayyorlash mumkin? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8
8. Doskada 10 ta ot, 6 ta feʻl va 9 ta sifat yozilgan. Gap tuzish uchun har bir soʻz turkumidan bittadan olish kerak. Buni necha xil usul bilan amalga oshirish mumkin?A) 325 B) 270 C) 540 D) 600
9. „Rayhon“ kafesining taomnomasida 3 xil somsa, 4 xil 1-taom, 5 xil 2- taom bor ekan. 3 turdagi taomga buyurtmani nechta usulda berish mumkin? A) 60 B) 30 C) 50 D) 20
10. “MEGA PLANET ”gipermarketining „Hammasi uy uchun“ boʻlimida 15 xil piyola, 8 xil vaza, 10 xil choy qoshiq bor. Nazira xola turli nomdagi ikkita buyum sotib olmoqchi. U buni necha xil usulda amalga oshirishi mumkin? A) 1200 B) 33 C) 350 D) 500
11. Maktab kutubxonasida 4 xil matematika, 2 xil fizika va 3 xil tarix faniga doir kitoblar bor. Doston turli fanga oid ikkita kitobni uyda oʻqish uchun olmoqchi. U buni necha usulda amalga oshirishi mumkin? A) 9 B) 26 C) 24 D) 30
12. Maktab oshxonasida oq non, qora non va uch xil kolbasa bor. Ulardan necha xil buterbrod tayyorlash mumkin? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8
13. Tepalikdagi buloqqa 7 ta yoʻl olib boradi. Sayyoh necha xil usulda buloqqa borib kelishi mumkin? A) 49 B) 36 C) 14 D) 28
Oʻrin almashtirish(takrorsiz va takrorli)
14. 5 ta turli xatni 5 ta turli konvertga necha xil usulda joylash mumkin? A) 120 B) 60 C) 25 D) 20
15. Tugʻilgan kuningizga taklif etilgan 6 ta doʻstingizni 6 ta stulga necha xil usulda oʻtkaza olasiz? A) 36 B) 60 C) 120 D) 720
16. Stolda ona tili, algebra, geometriya, fizika darsliklari yotibdi. Sevara ularni kitob javoniga qoʻymoqchi. Bu darsliklar javonda jami necha xil usulda turishi mumkin?A) 12 B) 24 C) 8 D) 1
17. 7 nafar oʻquvchi navbatga necha usul bilan turishi mumkin? A) 7! B) 7 C) 49 D) 14
18. Baʻzi mamlakatlarning bayroqlari turli rangdagi 3 ta gorizontal yoki 3 ta vertikal „yoʻl“ lardan iborat. Oq, yashil, koʻk rangli matolar yordamida shunday bayroqlardan necha xilini tikish mumkin? A) 3 B) 6 C) 9 D) 12
19. „BARNO“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin?
A) 120 B) 60 C) 30 D) 100
20. „KUNFU“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin? A) 120 B) 60 C) 30 D) 100
21. „BARAKA“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin?
A) 120 B) 60 C) 30 D) 100
22. „MATEMATIKA“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin?
A) 14200 B) 15600 C) 151200 D) 10!
23. „NOZIMA“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin? A) 120 B) 60 C) 720 D) 100
24. „ALLA“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib,
nechta soʻz hosil qilish mumkin?A) 12 B) 6 C) 18 D) 24
25. „BARRA“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin? A) 30 B) 60 C) 80 D) 120
26. „DAFTAR“ soʻzida harflar oʻrnini almashtirib, nechta soʻz hosil qilish mumkin?A) 60 B) 360 C) 720 D) 1
27. „KELEBEK“ soʻzi yordamida „B“ harfidan boshlanib „L“ harfi bilan tugaydigan nechta soʻz hosil qilish mumkin?A) 120 B) 60 C) 20 D) 1026.
Oʻrinlashtirishlar (takrorsiz va takrorli)
28. Mijozning uy telefoni 7 raqamli boʻlib, 316 dan boshlanadi. Mijoz a‟zo boʻlgan bu telefon stansiyasi nechta mijozga xizmat koʻrsata oladi? A) 100 B) 1000 C) 900 D) 10000
29. Turli raqamli nechta toʻrt xonali son bor? A) 4536 B) 5040 C) 10000 D) 5000
30. 3,4,5,6,7 raqamlari yordamida hammasi boʻlib raqamlar takrorlanmasa, nechta ikki xonali son tuzish mumkin?A) 10 B) 20 C) 25 D) 30
31. 7, 4, 5, 6, 9, 8 raqamlari yordamida hammasiboʻlib raqamlar takrorlanmasa, nechta uch xonali son tuzish mumkin?A) 100 B) 120 C) 300 D) 216
32. 7, 4, 5, 6, 9, 8 raqamlari yordamida nechta uch xonali son tuzish mumkin?A) 100 B) 120 C) 300 D) 216
33. 3, 4, 5, 6, 0, 8 raqamlari yordamida hammasiboʻlib raqamlar takrorlanmasa, nechta uch xonali son tuzish mumkin?A) 100 B) 120 C) 300 D) 216
34. A={1, 2, 3, 4, 5, 6} toʻplam elementlari yordamida tuzilgan nechta uch xonali sonda 4 raqami qatnashadi?A) 60 B) 125 C) 91 D) 120
35. Raqamlar takrorlanishi mumkin boʻlsa, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 raqamlaridan nechta 4 xonali son tuzish mumkin?A) 84 B) 48 C) 83D) 256
36. 6, 2, 4, 7, 9 raqamlaridan ularni takrorlamasdan 5 xonali sonlar tuzildi. Ularning nechtasi 2 ga boʻlinadi? A) 60 B) 72 C) 100 D) 120
37. Hamma raqamlari toq boʻlgan nechta 5 xonali son bor?A) 2500 B) 3125 C) 500 D) 1500
38. Hamma raqamlari juft boʻlgan nechta 5 xonali son bor?A) 2500 B) 3125 C) 500 D) 1500
39. Nechta uch xonali sonda faqatgina bitta 6 raqami bor? A) 243 B) 225 C) 250 D) 729
40. 5 raqamiga ega boʻlmagan ikki xonali sonlar nechta? A) 72 B) 73 C) 81 D) 64
41. 0 va 8 raqamiga ega boʻlmagan uch xonali sonlar nechta? A) 729 B) 512 C) 648 D) 576
Guruhlash (takrorsiz)
42. 5 nafar oʻquvchidan 2 nafarini „Bilimlar bellashuvi“ da qatnashish uchun tanlab olish kerak. Buni necha xil usulda bajarish mumkin?A) 10 B) 20 C) 5 D) 15
43. Jamshid, Urol, Surayyo, Nozima, Barno va Doston a‟lo baholarga oʻqiydi. Maktab maʻmuriyati aʻlochilar uchun sovgʻa tarzida konsertga 4 ta chipta olib keldi. Shu chiptalar a‟lochilar oʻrtasida necha usulda taqsimlanishi mumkin? A) 15 B) 24 C) 20 D) 18
44. Kutubxonachi Sizga 8 ta turli kitobni oʻqishni taklif qildi. Siz shulardan 3 tasini tanlab olmoqchisiz. Buni necha xil usulda amalga oshirish mumkin? A) 24 B) 48 C) 56 D) 80
45. Taqsimchada 10 ta yongʻoq bor edi. Nozima ixtiyoriy 3 tasini olmoqchi boʻldi. Buni u necha xil usulda amalga oshirishi mumkin?A) 60 B) 120 C) 100 D) 56
46. Barno 6 ta masaladan ixtiyoriy 4 tasini tanlamoqchi. Surayyo esa 6 ta boshqa masaladan 2 tasini tanlamoqchi. Barno bu ishni necha xil usulda bajarishi mumkin? Surayyochi?A) 15; 15 B) 30; 30 C) 15; 24 D) 24; 15
47. 15 nafar doʻstlar o‟zaro qoʻl berib koʻrishishdi. Jami qoʻl berishlar soni nechta boʻlgan? A) 30 B) 60 C) 105 D) 225
Guruhlash (takrorli)
48. Toʻrtta a, b, c, d elementdan ikkitadan tuzish mumkin boʻlgan barcha takroriy guruhlar nechta?A) 10 B) 8 C) 6 D) 4
49. Maktab oshxonasida 3 xil koʻrinishda shirinliklar bor. Oʻquvchi 2 dona shirinlikni necha usulda tanlab olish mumkin? A) 3 B6 C) 9 D) 12
50. Maktab oshxonasida 4 xil koʻrinishda shirinliklar bor. Oʻquvchi 5 dona shirinlikni necha usulda tanlab olish mumkin? A) 32 B) 36 C) 49 D) 56
Javoblari: 1-A, 2-C, 3-D, 4-A, 5-D, 6-A, 7-C, 8-C, 9-A, 10-C, 11-B, 12-C, 13-A, 14-A, 15-D, 16-B, 17-A, 18-D, 19-A, 20-B, 21-A, 22-C, 23-C, 24-B, 25-A, 26-B, 27-C, 28-D, 29-A, 30-B, 31-B, 32-D, 33-A, 34-A, 35-A, 36-B, 37-B, 38-A, 39-B, 40-A, 41-B, 42-A, 43-A, 44-C, 45-B, 46-A, 47-C, 48-A, 49-B, 50-D.