Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu

Škola:	Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace
Číslo projektu:	CZ.1.07/1.5.00/34.0616
Název projektu:	Inovace výuky
Číslo a název šablony klíčové aktivity:	EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol
Tematická oblast:	Maturita z matematiky na Gymnáziu Václava Hlavatého Louny

EU-8-15 – GONIOMETRICKÉ VZTAHY, TRIGONOMETRIE

Anotace	DUM je podkladem pro zopakování určování hodnot goniometrických funkcí pomocí periody, kvadrantů a základní tabulky. Dále pracuje se základními goniometrickými vzorci a jejich použití. Poslední část je věnována trigonometrii – řešení pravoúhlého i obecného trojúhelníku v teoretických i praktických úlohách. DUM slouží k přípravě na profilovou maturitní zkoušku z matematiky i na didaktické testy z matematiky u státní maturitní zkoušky.
Autor	Mgr. Vlastimil Zlatohlávek
Jazyk	Čeština
Očekávaný výstup	Žák umí rychle určit hodnoty všech goniometrických funkcí pro tabulkové úhly s využitím periody a práce v kvadrantech. Umí použít základní goniometrické vzorce při určení hodnot goniometrických funkcí. Dovede řešit pravoúhlý i obecný trojúhelník v úlohách z praxe.
Klíčová slova	Jednotková kružnice, sinusoida, kosinusoida, kvadranty, goniometrické vzorce, sinová a kosinová věta.
Druh učebního materiálu	Prezentace/ Pracovní listy
Druh interaktivity	Aktivita / Výklad / Test / Kombinace
Cílová skupina	Žák
Stupeň a typ vzdělávání	Střední vzdělávání
Typická věková skupina	16 – 19 let
Datum vytvoření	6.11.2013

goniometrické funkce definujeme jako souřadnice bodu na jednotkové kružnici pomocí pravoúhlého trojúhelníku

podle Pythagorovy věty platí:

z obrázku je patrné zavedení goniometrických funkcí

další goniometrické vztahy:

z toho vyplývá vzorec:

další goniometrické vztahy:


s

inusoida - graf funkce , perioda je – interval



1

-1

kosinusoida - graf funkce , perioda je – interval

1

- -1

1.kvadrant – 1K	2.kvadrant – 2K	3.kvadrant – 3K	4.kvadrant – 4K
základní úhel z TABULKY	odčítáme od , získáme základní úhel z TABULKY	odčítáme , získáme základní úhel z TABULKY	odčítáme od , získáme základní úhel z TABULKY

Znaménka funkcí jsou závislá na znaméncích funkcí , obě funkce jsou tedy v 1K kladné, ve 2K záporné, mají periodu .

určování hodnot goniometrických funkcí:

1K – TABULKA

2K: znaménko +, odečteme od , získáme základní úhel z TABULKY

3K: znaménko -, odečteme , získáme základní úhel z TABULKY

4K: znaménko -, odečteme od , získáme základní úhel z TABULKY

odečteme 2x periodu, převedeme na předchozí příklad

přičteme 3x periodu, převedeme na předchozí příklad

odečteme 5x periodu, převedeme na 1K

přičteme 6x periodu, převedeme na 2K

Příklad: je dáno:

Vypočítejte hodnoty:

dosadíme do vzorce:

z podmínky: dostaneme:

dále:






Příklad: je dáno:

Vypočítejte hodnoty: .

dosadíme do vzorce:

, dostaneme:

dosadíme do vzorce:

a dosadíme do vzorce

:

z podmínky: dostaneme:

dále:



Příklad: odvoďte vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku :

vzorec pro obsah trojúhelníku:

v pravoúhlém trojúhelníku platí:

dosazením do základního vzorce pro obsah trojúhelníku dostaneme:

Příklad: určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku , jestliže platí:

,

ze vztahu

ze vztahu

dosazením do sinové věty dostaneme:

jedná se o úhel v trojúhelníku, řešení hledáme v intervalu :

rovnice nemá žádné řešení

rovnice

má jediné řešení (zaokrouhlení na stupně):

dopočítáme:

dopočítáme:

Příklad: Silnice, vedoucí po hrázi rybníka, má být po zrušení rybníka nahrazena přímou cestou. Její krajní body jsou zaměřeny z bodu pod úhlem , . Jak dlouhá bude nová cesta?



kosinová věta:

dosadíme:

(zaokrouhleno na jednotky)

Nová cesta bude dlouhá 365 metrů.

Příklad: Na vrcholu kopce stojí rozhledna vysoká 25 metrů. Její patu vidíme z údolí ve výškovém úhlu 29 stupňů, její vrchol ve výškovém úhlu 32 stupňů. Jak vysoko je vrchol kopce nad pozorovacím místem?











sinová věta pro trojúhelník :

pravoúhlý trojúhelník :

Vrchol kopce je 196 metrů nad pozorovacím místem.

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Vlastimil Zlatohlávek.