Кнф конъюнкти́вная норма́льная фо́рма

Теорема 4.2.
Если 
 
и 
 
— гомоморфизмы, то 
композиция 
 
— тоже гомоморфизм.
Ранее мы достаточно подробно обсудили понятие гомоморфизма для алгебр — групп 
и колец. Заметим, что для алгебр любой гомоморфизм является строгим, так как 
сигнатура алгебры включает только операции и условие 2 в определении 
гомоморфизма для нее не рассматривается. Приведем некоторые дополнительные 
примеры гомоморфизмов.
Пример 4.6.
а.
Рассмотрим левый 
-
модуль 
как 
алгебраическую систему, сигнатура которой помимо групповой операции сложения и 
нуля группы содержит и унарные операции умножения элементов группы на 
элементы кольца 
(мощность множества этих операций равна 
мощности 
носителя кольца 
). Гомоморфизм 
этих 
-
модулей есть такое отображение, что для всех 
и всех 
имеем
Используя вместо выражения 
более привычную запись 
, приведенные 
выше условия представим в виде

---

В случае линейного пространства над полем отображение, удовлетворяющее этим 
условиям, есть не что иное, как линейный оператор. Таким образом, линейные 
операторы суть гомоморфизмы линейных пространств.
б.
Для линейного пространства отображение, сопоставляющее каждому 
вектору вектор 
для фиксированного ненулевого вектора , не является 
линейным оператором и, следовательно, не является гомоморфизмом заданного 
линейного пространства в себя. Действительно, для любого гомоморфизма модулей 
(и линейных пространств, в частности) образ нулевого вектора есть нулевой вектор. 
Здесь же 
.
в.
Пусть 
и 
— .модели с одним бинарным отношением. 
Отображение 
будет гомоморфизмом первой модели во вторую, согласно 
с общим определением, тогда и только тогда, когда для 
любых 
из 
следует 
. В частности, если — отношение 
порядка, то получаем 
.
Таким образом, гомоморфизмы упорядоченных множеств — это монотонные 
отображения. На рис. 4.3 в виде диаграмм Хассе изображены четыре упорядоченных 
множества. Множество является гомоморфным образом множества , но не 
является его строгим гомоморфным образом; множество есть строгий 
гомоморфный образ множества ; наконец, множество 
не является гомоморфным 
образом множества .

---