Klassik tengsizliklar yordamida ba’zi tengsizliklarni isbotlash usullari

Klassik tengsizliklar yordamida ba’zi tengsizliklarni isbotlash usullari
Nasriddin Raximov_

SamDChTI akademik litseyi

oliy toifali matematika fani o‘qituvchisi
Biz ushbu maqolamizda mashhur o’rta qiymatlar haqidagi klassik tengsizliklar yordamida ba’zi-bir tengsizliklarni isbotilashga harakat qildik. Bu mavzuni tahlil qilish va mustaqil ravishda ushbu tipdagi masalalarni yechish o’quvchi yoshlarda klassik o’rta qiymatlarni yanada teranroq tushunish, misollar yechishga tadbiq etish ko’nikmasini shakllantiradi.

Ma’lumki klassik tengsizliklar faqat nomanfiy sonlar uchun o’rinli bo’lishi bizga ma’lum:

.

Endi bu tengsizliklar yordamida ba’zi tengsizliklar isbotlarini qarab o’tamiz.

1-misol. Tengsizlikni isbotlang: , bunda a>0, b>0 c>0.

Dastlab quyidagicha belgilash olamiz: . Bu tenglamalar sistemasini yechib a, b, c larni qiymatlarini topsak bo’ladi. Topilgan qiymatlarni berilgan tengsizlikka qo’yib,

natijani olamiz. Oxirgi natijaga AM va GM orasidagi munosabat tengsizlikni qo’llasak

tengsizlik isbot bo’ladi.

2-misol. Uchta nomanfiy a, b, c sonlari uchun o’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar orasidagi bog’lanish tengsizligini isbotlang:

Qiymati uchta sonning o‘rta arifmetigiga teng bo‘lgan to‘rtta sonni qaraymiz . Bu yerdan x ni topamiz. . Topilgan x ni qiymatini yuqoridagi tengsizlikka qo‘ysak, ni hosil qilamiz. Bu tengsizlikni ikkala qismini 4-darajaga ko‘tarsak: bo‘ladi, bundan esa kelib chiqadi. Natijada bo‘ladi. Tengsizlik isbotlandi. Tenglik belgisi faqat a=b=c shartdagina bajariladi.