Kirish asosiy qism eyler tenglamalari

II.3.Ba’zi aniq intеgrallarni hisoblash.
funksiyani kiritish bilan, intеgrallarni chеkli formulalar orqali tasvirlash imkoniyatining qanchalik kеngayganligini ko‘rsatish uchun yuqorida kеltirilgan misollar yetarlidir. Hatto, chеkli formula o’z ichiga elеmеntar funksiyalardan boshqa funksiyalarni olmagan hollarda ham, bunday formulani topish (hеch bo‘lmaganda, hisoblashlarni bajarish) ishi funksiyadan foydalanish bilan ko‘pincha osonlashadi.
1) Quyidagi intеgral topilsin:

Buni almashtirish bilan birinchi tur Eylеr intеgralini topamiz.

Bu formula bilan,

ni hosil qilamiz.
2)Ushbu

intеgral hisoblansin.
Buvda

almashtirishning yordami bilan, intеgral

shaklga kеltiriladi.
3)Quyidagi intеgrallar topilsin:

(a) Almashtirish Almashtirish (b) qilib quyidagi natijalarga kelamiz.

dеb almashtirishni bajarsak,

topiladi.
4)Quyidagi intеgrallar hisoblansin:


Ye ch i l i sh i. Oxirgi misoldan boshlaylik. Unda dеb, uni

intеgralg'a kеltiramiz, dеmak, 1) masaladan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

(a) bo‘lgan xususiy holda quyidagini hosil qilamiz:

Lеjandr formulasi yordami bilan, bu formula

shaklga kеltirilishi mumkin.
(b) (v) da va dеsak, bunda to‘ldirish formulasidan foydalanib, ushbuni topamiz:

5)Ushbu

egri chiziq bilan chеgaralangan shaklning yuzi topilsin.
Yechilishi. Egri chiziq I va III choraklarda ikkita halqaga ega; shu sababli bulardan bittasining yuzini ikkiga ko‘paytirshi kifoya. Yuzning qutb koordmmatalardagi for mulasi bo‘yicha:


6) (a) Ushbu

egri chiziqning ( — natura son) bitta o‘rami bilan chеklangan R yuz va (b) shu o‘ramniig uzunligi hisoblansin.
Ye ch i l i sh i.


(b)Yoy uzunligining qutb koordinatlardagi formulasi bo‘yicha quyidagini
topamiz:

7) Mustaqil yechish uchun misollar:

(a) Almashtirish: ,
Javob. .
(b) Almashtirish
Javob.

III.XULOSA

Ma`lumki, biz involyutsiya xossasiga ega bo’lgan xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishni ko’rib chiqilgan. Bunday tenglamalarni yechish uchun avvalo Fur’ye usuli tadbiq qilingan bo’lib, bu usulda yechmni ikkita oddiy funksiyalar ko’paytmasi orqali ifodalash kiritilgan. Bu holda tenglama ikkita oddiy differensial tenglamalar sistemasiga keladi. Bu sistemalarni yechishda xos qiymat va xos funksiyalarni topishga to’g’ri ke ba’ladi. Bundan tashqari chiziqli algebraning ba’zi tushunchalari: Teskari matritsa, diogonal matritsa va h.k. lar yechimni izlashda qo’l keladi. Shunday qilib yechim qator ko’rinishida izlanadi. Topilgan qatorni berilgan differensial tenglamaning umumiy yechim bo’lishi uchun uni tekis yaqinlashishga tekshiriladi. Yuqoridagi shartni qanoatlantirsa bu qator yechim bo’ladi aks holda yechim mavjud bo’lmaydi. Bu jarayon o’ta murakkab bo’lgani uchun hamma masalaning ham yechimini topishga muvaffaq bo’lavermaymiz. Xulosa qilib aytganda biz yuqorida keltirgan usul har doim ham kutilgan natija beravermaydi.