Катта сонлар конуни. Катта сонлар конунининг назарий ва амалий ахамияти

Хинчин теоремаси. Фараз этайлик М(Х)=а |a|<Ґ, X_n Х-ни узаро боглик булмаган кузатишлар натижасида хосил булган тасодифий микдорлар булади.
Характеристик функциялар хакида тушунча.
Характеристик функцияларнинг асосий хоссалари. Марказий лимит теорема.
Фараз килайлик, Х ва У тасодифий узгарувчилар булсин. Z=X+iY -ни комплекс тасодифий узгарувчи дейилади, бу ерда i-мавхумлик бирлиги булиб i= , i²=-1 a+ib=Mx+iMy. Z-нинг математик кутилмаси MZ=a+ib булади. Z₁ ва Z₂ комплекс тасодифий узгарувчиларнинг купайтмаси Z_1Ч Z₂=(х_iх₂-у_iу₂)+i(х₁х₂-у₂у₁), агар
Z₁= х₁+ i у₁ ва Z₂= х₂+ i у₂ булсалар.
Математик кутилишнинг хакикий тасодифий узгарувчилар учун уринли булган хоссалари комплекс сонли тасодифий узгарувчилар учун уринли булиб колади. Масалан Z_к (к=1,2,...,n) комплекс сонли тасодифий узгарувчилар булса М(Z₁+Z₂+...+Z_n)= М(Z₁)+M(Z₂)+...+M(Z_n) ва М(СZ)=СМZ булади ва ундан ташкари:

1. 
   Агар Х₁,Х₂,...,Х_n эркли тасодифий узгарувчилар. f₁,f₂,...,f_n- комплекс таосдифий узгарувчиларни ифодаловчи функциялари булса,
   

М f₁(х₁),f₂(х₂),,...,f_k(х_n) (1)
булади, агар |М f_k(х_n)|<Ґ 1ЈkЈn уринли булса.
2. Агар М|Z|<Ґ булса, |МZ|Ј М|Z| (2) булади.
Таъриф. Х хакикий тасодифий узгарувчи булса, унинг характеристик функцияси деб Z =e^itX (i= ва -Ґх(t) билан белгиласак:
j_х(t)= МZ= М e^itX (3)
Масалан 1) агар Х- дискрет хакикий тасодифий узгарувчи булиб,

Таксимот конунига эга булса, унинг характеристик функцияси

j_х(t)= e^itXР_к (4)
булади.

2. 
   Агар Х узлуксиз тасодифий узгарувчи булиб f(x) -Ґ<х<Ґ даги зичлик функцияси булса, унда
   

j_х(t)= (5)
булади.
Х тасодифий узгарувчининг характеристик функцияси j_х(t), t=0 , j_х(0)=1 ва |j_х(t)|Ј1 барча -Ґх(t) t нинг
(-Ґ,Ґ) даги кийматлари учун текис узликсиз функция.
Агар Z, r-нчи тартибли моментга эга булса, яъни М|Х|^r - мавжуд булса, унда j_х(t), r-нчи тартибли хосилага эга ва
j^(r)_х(0)=2^rM(X^r) (6)
булади.
Агар Х₁,Х₂,...,Х_n -эркли тасодифий узгарувчилар булса унда
j (t)= j (t) _j (t)_...j (t) (7)
булади.
Яъни мавжуд ва f(x) Х нинг зичлик функцияси булса
f(x)= (8)
булади.
Мисоллар:
1. Х биномиал конуни билан таксимланган. Характеристик функцияси j_х(t) топилсин
j_х(t)=е^it0(1-p)+ е^it1p= 1-p+ е^itp=1+p( е^it-1) (9)

2. 
   Х бернулли конуни билан таксимланган j_х(t)- характеристик функцияси топилсин.
   

Маълумки Р_к=Р(Х=к)=С^k_n р^k(1-p)^n-k , k=0,1,2,...,n
Унда j_х(t)= e^itkР_к= e^itk C^k_n р^к (1-p)^n-k=
= C^k_n (e^it)^k(1-p)^n-k=(1-p+p e^it)ⁿ=[1+p(e^it-1)]ⁿ (10)
Бу натижага (7) формула, характеристик функциянинг хоссасидан фойдаланиб юзага келтириш мумкин эди. Сабаб Бернулли конуни билан таксимланган тасодифий узгарувчи n-та Бином конуни билан таксимланган тасодифий узгарувчиларнинг йигиндисидан иборатдир, яъни
Х=х₁+х₂+...+х_n (11)
Маълумки Бернулли конунида Х n-та эркли текширишда А ходисанинг юзага келиш сони, Бином конунида эса Х_к -к-нчи текширишда А ни юзага келиш сонини белгилайди.
Шу сабабли (7) формулани эсласак
j_х(t)= j_х(t) j_х(t)... j_х(t)=[1+p(e^it-1)]ⁿ булади.

3. 
   Х параметрли Пуассон конуни билан:
   

Р(Х=n)= , n=0,1,2,... таксимланган. j_х(t) топилсин.

булади
j_х(t)=е^[l(eit-1)] (13)

4. 
   Х тасодифий узгарувчи (а,в) оралигида текис таксимланган. аЈхЈв учун Х нинг зичлик функцияси
   

f(x,y)= (14)
х-колган кийматларида f(x)=0, Х- характеристик функцияси j_х(t)=

5. 
   Х -Ґ<х<Ґ ораликда N(0,1) параметрлар билан нормал таксимланган; яъни зичлик функцияси -Ґ<х<Ґ учун f(x)= га тенг. j_х(t)-топилсин j_х(t)=
   

-комплекс сохадаги интеграл булиб исботлаш мумкин у -га тенг булади. Унда
j_х(t)= (15)
булади.

Назорат саволлари.

1. 
   Чебишев тенгсизлиги.
   
2. 
   Чебишев теоремаси.
   
3. 
   Марков теоремаси.
   
4. 
   Катта сонлар конуни ва унинг иктисодий ахамияти.
   

Таянч иборалар.
Чебишев тенгсизлиги, катта сонлар конуни, марказий лимит теоремаси, Боглик булмаган синашлар кетма-кетлиги, Бернулли схемаси, n талаб ва таклиф синашда А ходиса руй берган синашлар, А ходиса биринчи марта руй бериши учун зарур булган синашлар, локал ва интеграл теоремалар.
Асосий адабиёт.

1. 
   Êðåìåð Í.Ø. “Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà”, Ìîñêâà, 2000, 2001, 2002.
   
2. 
   Òþðèí Þ.Í., Ìàêàðîâ À.À. Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç äàííûõ íà êîìïüþòåðå, 4-изд. Ì., Инфра-М., 2004.
   
3. 
   Êîëåìàåâ Â.À. Èâàíîâà.  à “Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà”, Ì., Инфра-М., 1997.
   
4. 
   Алексакин С.В., Балдин А.В., Криницин В.В. и др. Прикладной статистический анализ данных (учебно – практическое пособие для вузов) книга 1,2. М.1998г.
   
5. 
   Фигурин В.А., Оболонкин В.В. «Теория вероятностей и математическая статистика», «Новое знание», Санкт-Петербург, 2003 й.
   

Šœøèì÷à àäàáè¸ò.

1. 
   Боровиков В. Статистика. Искусство анализа данных на компьютере: 2-е изд. (+СД). - СПб.: Питер, 2003. – 688 с..
   
2. 
   2. Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособ. 2-е изд. М.:ФИМА,2003.- 224с.
   
3. 
   Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. 9-е изд. Стер.: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высш. Школа, 2004. – 404 с.