Karrali xosmas integralning ta’rifi

Misollar 1)
2) .


Yaqinlashuvchi xosmas integrallarning xossalari . oraliqda berilgan bo‘lsin.
1. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha. Bunda
(6)
bo‘ladi.
2. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib,quyidagicha bo’ladi.
(7)
3.Agar da bo’lsa
bo’ladi. (8)
4. Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va
= (9)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
5. Agar uchun bo‘lib va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
 (10)
bo‘ladi.
6. O‘rta qiymat haqidagi teorema. va funksiyalar oraliqda berilgan bo‘lsin. Shuningdek bo‘lib, funksiyaning da ishorasini o‘zgartirmasin.
1.1.1-teorema. Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda shundan o‘zgarmas son topiladiki,
(11)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.


Isbot. Faraz qilaylik uchun 0 bo‘lsin. U holda ga ko‘ra

bo‘ladi. Buni oraliq bo‘yicha integrallab,

ni hosil qilamiz. So‘ngra da limitga o‘tamiz:
(*)
Agar bo‘lsa, u holda

bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi deb ixtiyriy sonni olish mumkin.
Agar bo‘lsa, unda (*) munosabatdan

hosil bo‘ladi.
Bu erda deb olsak,
kelib chiqadi.
oraliqda  0 bo‘lganda ham bu teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi.
1.1.2-teorema. integralning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun da , , bo‘lishi zarur va yetarli. Bu teorema xosmas integralning yaqinlashuvchilik kriteriysi deb ataladi.
Natija. Agar yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Ixtiyoriy funksiya xosmas integralning yaqinlashuvchiligi quyidagi teoremada o‘z ifodasini topgan.