Karrali xosmas integralning ta’rifi

Misol. ning qanday qiymatlarida quyidagi integral yaqinlashadi.

Y echish. Integral ostidagi funksiya da da uzluksiz, demak u da xos ma’noda integrallanuvchi, bu esa integral yaqinlashuvchi ekanini bildiradi.
Integralni da qaraymiz. funksiya to’plamda musbat va uzluksiz, shuning uchun .

da Jordan bo’yicha o’lchovli ochiq va to’plamni qoplovchi to’plovlardan iborat. Umumlashgan qutb koordinatalarga o’tib integralni hisoblaymiz.


Bundan
2.1 teoremani e’tiborga olsak, da integral yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bo’ladi.
Misol. Integralni yaqinlashishga tekshiring va yaqinlashuvchi bo’lsa, uni hisoblang.

Y echish. , , to’plamlar da ochiq Jordan to’plamlari bo’lib, ular ni qoplaydi. funksiya da musbat va uzluksiz. va lar noldan farqli bo’lsin, u holda da

Agar yoki lardan bittasi manfiy bo’lsa bo’ladi.
Agar , bo’lsa u holda , agar , (xuddi shunday , ) bo’lsa u holda da
,
bo’ladi va demak . 2.1. teoremadan berilgan xosmas integral lardan hech bo’lmaganda birortasi manfiy yoki nolga teng bo’lsa uzoq-lashuvchi, da yaqinlashuvchi bo’ladi uning qiymati ga teng.
Misol. Karrali xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring.

funksiyalar musbat va uzluksiz demak, . to’plamlar ochiq Jordan to’plami va ni qoplovchi hisoblanadi. integralni hisoblaymiz. Qutb koordinatalarga o’tib

Bundan . Natijada, 2.1 teoremaga ko’ra integral yaqinlashuvchi va uning qiymati ga teng.
Manfiymas funksiyadan olingan xosmas integralni yaqinlashishga tekshirishda quyidagi natija qo’l keladi.
2.2.2-teorema. dagi ochiq to’plam bo’lib, funksiya da manfiymas va . karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, sohani monoton qoplovchi hech bo’lmaganda bitta ochiq o’lchovli to’plamlar ketma – ketlik uchun ketma – ketlikning chegaralangan bo’lishi zarur va yetarli. Bu yerda .