Karrali xosmas integralning ta’rifi

a) Nyuton-Leybnist formulasi. funksiya oraliqda uzluksiz vash u boshlang‘ich funksiyaga ega deb faraz qilaylik. Agar limit mavjud va chekli bo‘lsa, uni ning + dagi = qiymati deb qabul qilamiz. Xosmas integral ta’rifi va Nyuton-Leybnist formulasiga ko‘ra quyidagini topamiz:
(15)
Bundan funksiya xosmas integral uchun Nyuton-Leybnist formulasi o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.
b) Bo‘laklab integrallash. va funksiyalar oraliqda berilgan va uzluksiz va hosilalarga ega deb faraz qilaylik. Agar integral yaqinlashuvchi bo‘lib, limitlar mavjud va chekli bo‘lsa, u holda integral yaqinlashuvchi bo‘lib,
. (16)
c) O‘zgaruvchini almashtirish usuli. funksiya oraliqda berilgan bo‘lsin. integralda deylik, funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1. funksiya oralikda berilgan hosilaga ega va bu hosila uzluksiz bo‘lsin;
2. funksiya oraliqda qat’iy o‘suvchi bo‘lsin;
3. , bo‘lsin.
U holda integral yaqinlashuvchi bo‘lsa,
(17)
bo‘ladi.
1.2 § Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrallari


Maxsus nuqta. funksiya to’plamda berilgan bo’lsin. Biror nuqtani olib, uning ushbu

atrofini qaraylik.
1.2.1-ta’rif. Agar nuqtaning har qanday atrofi olinganda ham to’plamda funksiya chegaralanmagan bo’lsa, nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi deb ataladi.
funksiya yarim intervalda berilgan bo’lib, nuqta shu funksiyaning maxsus nuqtasi bo’lsin. Bu funksiya yarim inter­valning istalgan qismida integrallanuvchi, ya’ni ixtiyoriy uchun ushbu

integral mavjud bo’lsin. Bu integral, ravshanki, qaralayotgan funksiyaga va olingan ga bog’lik bo’ladi. Agar ni tayinlab olsak, qaralayotgan integral faqat o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi:

Natijada intervalda berilgan funksiyaga ega bo’lamiz.
1.2.2-ta‘rif. Agar da funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, bu limit (chegaralanmagan) funksiyaning bo’yicha xosmas integrali deb ataladi va u

kabi belgilanadi. Demak,
(18)
1.2.3-ta’rif. Agar da funksiyaning limiti mav­jud bo’lib, u chekli bo’lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyi­ladi, esa da integrallanuvchi funksiya deyiladi.
Agar da funksiyaning limiti cheksiz bo’lsa, integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Xuddi yuqoridagidek, a nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo’lganda oraliq bo’yicha xosmas integrali, va nuqtalar funk­siyaning maxsus nuqtalari bo’lganda oraliq bo’yicha xosmas integ­ral ta’riflanadi.
funksiya yarim intervalda berilgan bo’lib, a nuqta shu funksiyaning maxsus nuqtasi bo’lsin. Bu funksiya yarim intervalning istalgan qismida integrallanuvchi, ya’ni ixtiyoriy uchun ushbu
(19)
integral mavjud bo’lsin.