Kantorning diagonal usuli. Oqim miqdori tushunchasi. Yig’indi va qatorlar algoritmlarining tahlili

3.Yig’indi va qatorlar algoritmlarining tahlili.

Qatorlar haqida tushunchalar

1-ta'rif. u1, u2, u3,…,un… sonlar ketma-ketligidan tuzilgan

u1+u2+u3+…+un=?_1^?-u_n (1)

cheksiz yig'indiga Qator deyiladi.

u1,u2,u3,…,un,… larga qatorning hadlari, un ga esa n- hadi yoki umumiy hadi

deyiladi.

Qatorlarga bir necha misollar keltiramiz:

?_1^?-?1/n=1+1/2+? 1/3+?+1/n+?

qatorga garmonik qator deyiladi;



qator birinchi hadi, a1=1/2maxraji q1=1/2bo'lgan geometrik progressiyani ifodalaydi;



2. Qator yig'indisi va uning yaqinlashuvi.

Qator ta'rifidan ma'lumki, uning hadlari cheksiz ko'p bo'lib, yig'indisini oddiy yo'l bilan

qo'shib, topib bo'lmaydi. Shuning uchun qatorning yig'indisi tushunchasini kiritamiz. (1) qator

hadlaridan



qismiy yig'indilar tuzamiz.

2-ta'rif. limT(n>?)??S_n=S?, chekli limit mavjud bo'lsa, Sga qator yig'indisi deyiladi va

qator yaqinlashuvchi deb ataladi.

Chekli limit mavjud bo'lmasa, qatorning yig'indsi bo'lmaydi va u uzoqlashuvchi deyiladi.

1-misol.

qator yaqinlashishini tekshiring.

Yechish. Berilgan qatorning nqismiy yig'indisi



bo'lib, limT(n>?)??S_n=limT(n>?)??S_n ? ? (1-1/(n+1)).

Shunday qilib, berilgan Qator yaqinlashuvchi va uning yig'indisi S=1 bo'ladi.

3. Qator yaqinlashishining zaruriy belgisi(sharti).

Teorema. u1+u2+…+un+… (2) qator yaqinlashuvchi bo'lsa, limT(n>?)??u=0? shart bajariladi.

Isbot. (2) qator yaqinlashuvchi bo'lganligi uchun un=Sn-Sn-1;

limT(n>?)??u_n=limT(n>?)???(S?_n-S_(n-1))=limT(n>?)??S_n-limT(n>?)??S_(n-1)=? S-S? ?

?=0..

Shunday qilib, limT(n>?)??u_n=? 0 kelib chiqdi.

Natija. Qator umumiy hadining n>? dagi limiti 0 ga teng bo'lmasa, u uzoqlashuvchi bo'ladi.

Lekin limT(n>?)??u_n=? 0 shartdan qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqmaydi. Bu shart faqat

zaruriy shart bo'lib, yetarli emas.

4. Musbat hadli qatorlar yaqinlashishining yetarli belgilari

Qator yaqinlashishining taqqoslash belgisi.

u1+u2+,…,+un+…, (3)

v1+v2+,…,+vn+… (4)

qatorlar uchun u1?v1, u2?v2,…, un?vn,... .tengsizliklar hamma n lar uchun bajarilib:(4)

qator yaqinlashuvchi bo'lsa, (3) qator ham yaqinlashuvchi bo'lidi va uning yig'indisi (4) qator

yig'indisidan katta bo'lmaydi; (3) qator uzoqlashuvchi bo'lsa, (4) qator ham uzoqlashuvchi

bo'ladi.



2-misol.

Qator yaqinlashishini tekshiring.

Yechish. Berilgan qatorni

qator bilan taqqoslayimz. Ma'lumki, keyingi qator maxraji q=1/2 ga teng bo'lgan geometrik

progressiya bo'lib, yaqinlashuvchidir. Hamma n lar uchun. 1/(n•2^n )?1/2^n . tengsizliklar

bajariladi, demak taqqoslash belgisiga asosan, berilgan qatorning ham yaqinlashuvchi ekanligi

kelib chiqadi.

2). Dalamber belgisi. Musbat hadli