Kamida va eng yuqori qiymatlar

Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish algoritmi.
Menga tushuntirish osonroq aniq misol. Ko'rib chiqing:
Misol:[–4;0] segmentida y=x^5+20x^3–65x funksiyaning eng katta qiymatini toping.
1-qadam. Biz hosilani olamiz.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
2-qadam Ekstremal nuqtalarni topish.
ekstremal nuqta funksiya maksimal yoki minimal qiymatiga yetadigan nuqtalarni nomlaymiz.
Ekstremum nuqtalarni topish uchun funktsiyaning hosilasini nolga tenglashtirish kerak (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Endi biz bu bikvadrat tenglamani yechamiz va topilgan ildizlar bizning ekstremum nuqtalarimizdir.
Men bunday tenglamalarni t = x ^ 2, keyin 5t ^ 2 + 60 t - 65 = 0 ni almashtirish orqali hal qilaman.
Tenglamani 5 ga kamaytiring, biz olamiz: t ^ 2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Teskari almashtirishni amalga oshiramiz x ^ 2 = t:
X_(1 va 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 va 4) = ±sqrt(-13) (biz istisno qilamiz, ildiz ostida bo'lishi mumkin emas. manfiy raqamlar(agar, albatta, biz murakkab raqamlar haqida gapirmasak)
Jami: x_(1) = 1 va x_(2) = -1 - bular bizning ekstremum nuqtalarimiz.
3-qadam Eng katta va eng kichik qiymatni aniqlang.
O'zgartirish usuli.
Shartda bizga [b][–4;0] segmenti berildi. x=1 nuqta bu segmentga kiritilmagan. Shuning uchun biz buni hisobga olmaymiz. Lekin x=-1 nuqtadan tashqari, segmentimizning chap va o'ng chegaralarini, ya'ni -4 va 0 nuqtalarini ham hisobga olishimiz kerak. Buning uchun biz ushbu uch nuqtaning barchasini asl funktsiyaga almashtiramiz. E'tibor bering, asl shartda (y=x^5+20x^3–65x) berilgan, ba'zilari esa hosilaga almashtira boshlaydi...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Demak, funktsiyaning maksimal qiymati [b]44 va u [b]-1 nuqtalarda erishiladi, bu funksiyaning segmentdagi maksimal nuqtasi deyiladi [-4; 0].
Biz qaror qildik va javob oldik, biz ajoyibmiz, siz dam olishingiz mumkin. Lekin to'xtang! Sizningcha, y (-4) ni hisoblash juda murakkab emasmi? Cheklangan vaqt sharoitida boshqa usuldan foydalanish yaxshidir, men buni shunday deb atayman:
Doimiylik oraliqlari orqali.
Bu bo'shliqlar funktsiyaning hosilasi uchun, ya'ni bikvadrat tenglamamiz uchun topiladi.
Men buni quyidagi tarzda qilaman. Men yo'nalish chizig'ini chizaman. Men nuqtalarni qo'ydim: -4, -1, 0, 1. Berilgan segmentga 1 kiritilmaganiga qaramay, doimiylik intervallarini to'g'ri aniqlash uchun uni hali ham ta'kidlash kerak. Keling, 1 dan ko'p marta kattaroq sonni olaylik, aytaylik 100, uni aqliy ravishda 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 bikvadrat tenglamamizga almashtiramiz. Hech narsani hisoblamagan holda ham, 100 nuqtasida aniq bo'ladi. funktsiya ortiqcha belgisiga ega. Bu 1 dan 100 gacha bo'lgan oraliqlar uchun u ortiqcha belgisiga ega ekanligini anglatadi. 1 dan o'tayotganda (biz o'ngdan chapga boramiz), funktsiya belgisi minusga o'zgaradi. 0 nuqtadan o'tayotganda funktsiya o'z belgisini saqlab qoladi, chunki bu faqat segmentning chegarasi va tenglamaning ildizi emas. -1 dan o'tganda, funktsiya yana belgisini ortiqcha ga o'zgartiradi.

Nazariyadan biz funktsiyaning hosilasi qaerda ekanligini bilamiz (va biz buning uchun chizganmiz) belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartiradi (bizning holatda -1 nuqta) funksiyaga etadi uning mahalliy maksimal (y(-1)=44 avvalroq hisoblangan) ushbu segmentda (bu mantiqan juda aniq, funktsiya o'sishni to'xtatdi, chunki u maksimal darajaga yetdi va pasayishni boshladi).
Shunga ko'ra, bu erda funktsiyaning hosilasi belgisini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi, erishildi funktsiyaning mahalliy minimumi. Ha, ha, biz mahalliy minimal nuqta 1 va y (1) ni ham topdik minimal qiymat segmentdagi funktsiyalar, deylik -1 dan +∞ gacha. E'tibor bering, bu faqat LOCAL MINIMUM, ya'ni ma'lum bir segmentdagi minimaldir. Haqiqiy (global) minimal funktsiya u erda bir joyga etib borishi sababli -∞ da.
Menimcha, birinchi usul nazariy jihatdan soddaroq, ikkinchisi esa arifmetik amallar nuqtai nazaridan soddaroq, lekin nazariy jihatdan ancha qiyinroq. Axir, ba'zida funksiya tenglamaning ildizidan o'tayotganda belgisini o'zgartirmaydigan holatlar mavjud va haqiqatan ham siz ushbu mahalliy, global maksimal va minimallar bilan adashishingiz mumkin, garchi siz buni rejalashtirsangiz, baribir buni yaxshi o'zlashtirishingiz kerak bo'ladi. texnik universitetga kirish uchun (va yana nima uchun profil imtihonini topshiring va bu vazifani hal qiling). Ammo amaliyot va faqat amaliyot sizga bunday muammolarni bir marta va umuman hal qilishni o'rgatadi. Va siz bizning veb-saytimizda mashq qilishingiz mumkin. Bu yerda .
Agar sizda biron bir savol bo'lsa yoki biror narsa aniq bo'lmasa, so'rashni unutmang. Men sizga javob berishdan va maqolaga o'zgartirishlar, qo'shimchalar kiritishdan xursand bo'laman. Esda tutingki, biz bu saytni birgalikda yaratamiz!
$z=f(x,y)$ funksiyasi $D$ chegaralangan yopiq domenida aniq va uzluksiz bo'lsin. Berilgan funktsiya ushbu mintaqada birinchi tartibli cheklangan qisman hosilalarga ega bo'lsin (cheklangan sonli nuqtalar bundan mustasno). Berilgan yopiq mintaqada ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun oddiy algoritmning uchta bosqichi talab qilinadi.