Каланов Азимхон Нодирович Икки ўлчовли анизотроп жисмлар учун эластиклик назарияси масалаларини ечиш программа

Боб I. ИККИ ЎЛЧОВЛИ ОРТОТРОП ЖИСМЛАРНИНГ КУЧЛАНГАНЛИК ХОЛАТИНИНГ МАТЕМАТИК МОДЕЛИНИ ЯРАТИШ

1. 
   Икки ўлчовли масаланинг қўйилиши ва уни ечиш алгоритми
   

Икки ўлчовли декарт координаталар тизимида ортотроп эластик жисм ташқи кучлар таъсирида турғун холатда бўлсин. Мувозанат тенгламарини ва юзада берилган чегаравий шартларни қаноатлантирувчи силжишларни аниқлаш керак бўлсин. Бу масалани ечиш учун унга тенг кучли бўлган вариацион масаланинг қўйилишини кўрамиз. У жисмнинг тўлиқ потенциал энергиясини минимизациялаш (Лагранж принципи)га асосланади ва масалани ечиш учун тақрибий усулларни қуллаш имконини беради. Улардан бири чекли элементлар усули хисобланади.

Масаланинг вариацион кўриниши қўйидагича тасвирланиши мумкин
dS- (1.1)
бу ерда
S-жисмнинг юзаси;
L-чегараси;
- силжиш векторининг компонентлари;
- деформация векторининг компонентлари;
кўчиш векторининг компонентлари;
Гук қонунига асосан кучланиш ва деформация векторлар компонентлари қўйидаги муносабат билан боғланган.

бу ерда
-жисмнинг эластиклик матрицаси.
Икки ўлчовли холда анизотроп жисмларга ортотроп ва изотроп жисмлар киради. Ортотроп жисмлар учун матрицанинг кўриниши қўйидагича [1]:

бу ерда
- OX ва OY ўқлар йўналиши бўйича жисмнинг эластиклик модуллари;
мос равишдаги Пуассон коэффицентлари;
мос равишдаги силжиш коэффиценти;

Ортотроп жисмларга дарахт танаси, аливроит ва полистерол ойналари киради, полистерол эса тўлдирувчи сифатида ишлатилади. Агар жисм иккита ўзаро перпендикуляр йўналишлар бўйича хар хил физик-механик хусусиятларга эга бўлса у жисм ортотроп дейилади. Улар 5-та боғланмаган (боғлиқ бўлмаган) параметрларга эга.
Изотроп жисмнинг қаттиқлик матрицаси атига иккита боғланмаган параметрига эга ва унинг кўриниши қўйидагича:



бунда эластиклик модули;
мос равишдаги Пуассон коэффиценти;
- силжиш модули.
Деформация вектори ўз навбатида силжиш вектори билан қўйидаги муносабат билан боғланган:

Бу ерда - градиентлар матрицаси бўлиб, қўйидаги кўринишга эга:

Қўйилган масала чекли элементлар усули билан ечилади. Бу усулда жисм эгаллаб тўрган соҳа кичик хажмга эга бўлган чекли элементларга бўлакланади. U, V -силжишларнинг аппроксимацион функциялари хар бир чекли элементлар учун келтирилади. Асосий ноъмалумлар сифатида тугун нуқталар силжиши олинади, чунки кичик соҳа ичидаги силжишларнинг аппроксимацияси учун содда функцияларни ишлатиш имкони бор [2].

Кўрилаётган жисмнинг хусусиятларини ўрганиш чекли ўлчовларга эга бўлган элементларнинг хусусиятларини ўрганишдан бошланади.
e-инчи чекли элементи силжиш векторининг компоненталари қўйидаги кўринишда тасвирланади:

бу ерда N_i- чекли элементнинг форма (кўриниш) функцияси;
n – чекли элементдаги тугун нуқталар сони;
I –ўлчами 2х2 бўлган бирлик матрица;
чекли элемент тугун нуқталарининг силжиш вектори.
Хар бир чекли элемент учун деформация вектори (1.2.8) ва кўчланиш вектори (1.2.4) ўзаро қўйидагича боғланади:


ва
,
бу ерда - градиентлар матрицаси бўлиб, у қўйидаги кўринишга эга:


ва .

Хар бир чекли элемент учун Лагранж вариацион тенгламасини (1.2.1) қўйидаги кўринишда тасвирлаш мумкин:

.

Қўидаги ифодалашларни киритамиз:



ва
.
У холда юқоридаги (1.2.14) тенгламанинг кўриниши қўйидагича бўлади:
,
бу ерда - e-чи чекли элементнинг қаттиқлик матрицаси;
-тугун нуқталарга келтирилган кучлар вектори.
Ҳал қилувчи чизиқли алгебраик тенгламалар системасини қуриш жараёнини кўриб чиқамиз.
Жисмнинг дискрет моделидаги ҳар бир тугун нуқта бир неча чекли элементнинг таркибида иштирок этганлиги сабабли, шу тугун нуқтанинг мувозанат ҳолатини тасвирловчи тенгламанинг сатри шу чекли элементларнинг мос коэффициентларининг йиғиндисини ўз ичига олади. Мисол учун i-чи тугун нуқтага мос келувчи қаттиқлик матрицаси ва унга мос келувчи тугун нуқталаридаги ташқи кучлар вектори қўйидаги мууносабат билан аниқланади:


,

бу ерда - i-чи тугун нуқтага келтирилган ташқи кучлар компоненталарининг йиғиндиси.

Табиий-ки бу йиғиндига фақат i-чи тугун нуқтани ўз таркибига олган чекли элементлар хисса қўшади.
Барча кўринишдаги тенгламаларни бирлаштирганда бошланғич жисм дискрет моделининг умумий тенгламалар системаси қўйидаги кўринишга эга:


,

бу ерда -қаттиқлик матрицасининг глобал системаси;

жами чекли элементларнинг тугун нуқталари силжишларининг умумий вектори;
хар бир тугун нуқталарга келтирилган кучлар йиғиндисининг вектори;
m-жисмни хосил қилувчи чекли элементларнинг умумий сони.