Кафедра общественных наук

Непрямое (косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путем доказательства ложности антитезиса. Если тезис обозначить бук­вой а, то его отрицание будет антитезисом, т. е. проти­воречащим тезису суждением.
Апагогическое косвенное доказательство (или доказательство «от противного») осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто использует­ся в математике.
Пусть а — тезис (или теорема), который надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а Из допущения а выводим следствия, которые противоречат действительности или ранее известным теоремам. Имеем при этом а ложно, значит, истинно его отрицание, т. е. , которое по закону двузначной классической логики дает а. Значит, истинно а, что и требовалось доказать.
Следует заметить, что в конструктивной логике формула не является выводимой, поэтому ею в доказательствах в конст­руктивной математике и конструктивной логике пользоваться нельзя; закон исключенного третьего также «отвергается» (не является выводимой формулой), поэтому косвенные доказатель­ства там не применяются.
Примеров доказательства «от противного» очень много в школьном курсе математики. Так, например, методом «от противного» доказывается теорема: «Если две прямые перпен­дикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны». Доказательство этой теоремы начинается словами: «Предполо­жим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны». Тогда они пересекаются и образуют треугольник с двумя внут­ренними прямыми углами, поэтому сумма всех трех внутренних углов треугольника больше 180°. Но это противоречит ранее доказанной теореме о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
Следовательно, наше предположение, что АВ и CD не парал­лельны, ложно, из чего (по закону исключенного третьего) вытекает доказанность теоремы о параллельности прямых АВ и CD.