Jizzax davlat pedagogika istituti

Eyler usuli. Birinchi tartibli differensial tenglamani
y^’=f(x,y)
[a,b] kesmada boshlangʻich shart: x=x₀ da y=y₀ ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
[a,b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n nuqtalar bilan n ta teng boʻlaklarga ajratamiz.

Bu erda x_i=x₀+ih (i=0,1, ..., n), h= ^{b  a}
n
– qadam.

y^’=f(x,y) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli boʻlgan biror [x_k , x_k+1]
kesmada integrallasak

^xk 1

x_k
^xk 1
f (x, y)d x  _
x_k


y 'dx

Bu erda y(x_k)=y_k belgilash kiritsak
^xk 1
_{uk+1=uk+ } f (x, y)dx
x_k

(1)

Bu erda integral ostidagi funktsiyani [x_k , x_k+1] kesmada oʻzgarmas x=x_k nuqtada boshlangʻich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:

y_k+1= y_k+  y_k , _Δy_k=hf(x_k,y_k)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli boʻlgan har bir kesmalarda takrorlasak, (1) ning yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..
Eyler usulini differensial tenglamalar sistemasini yechishni ham qoʻllash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlangʻich shartga ega boʻlgan masala berilgan boʻlsin:

y'
^{f1(x, y, z)}
x=x
da u=u
, z=z
(2)

z'
f (x, y, z)^{ 0 0 0}

2. 
   
   
   
   2
   ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi
   

u_i+1=y_i+  y_i , z_i+1=z_i+  z_i
Bu yerda
 u_i=hf₁(x_i,y_i,z_i),  z_i=hf₂(x_i,y_i,z_i), (i==0,1,2, ...)

Misol. Eyler usuli bilan
y^  y  (1 x) y² ,
u(1)  1
masalaning yechimi

[1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.
Yechish. Masalani shartidan x₀=1, u₀=-1 topamiz va Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I	xi	yi	f(xi ,yi)	Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni ham koʻrishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan koʻrinishlaridan biri Eyler- Koshi usulidir. Eyler- Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali hisoblanadi:


f (x , y )  f (x , ^~y )

bu yerda

_{yi 1  yi  hi} i i i 1 i 1
2

^{~y  y  h f (x , y )} .

Runge- Kutta usuli

i 1
i i i i

Berilgan x₀ , b
kesmada hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli

differentsial tenglama


dy _
dx


f (x, y)

(3)

berilgan boʻlsin va boʻlsin.

10. 
     x₀
    

nuqtada
y  y₀
boshlangʻich shart oʻrinli

_{h } b  x₀
n
qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz:

10. 
     x₀  ih va y_i  yx_i  i  1,2,3,..., n. Quyidagi sonlarni qaraymiz:
    

_ ⁱ
_{ h K} ⁱ _

K ^i  hf x , y , K
 hf _ x  , y  ¹ _

^{1 i i} 2
_ i ₂ i _{2 }

ⁱ
_{ h K} ⁱ _

ⁱ ⁱ

K₃  hf _ x_i  , y_i  ² _,
K₄  hf _x_i  h,
y_i  K_{3 }
(4)

_ 2 2 _

Runge – Kutta usuli boʻyicha
x_i1  x_i  h
nuqtada taqribiy

yechimning
^yi1
qiymati quyidagi formula boʻyicha hisoblanadi
y_i1  y_i  y_i

(5)

bu yerda y
 ¹ K ^{i }  2K ^{i }  2K ^{i }  K ^{i }  i  0,1,2,...

i ₆ 1
2 3 4

Bu usul boʻyicha bajariladigan hisoblashlar quyidagi jadvalga sxema boʻyicha joylashtiriladi:
1 –jadval

i	x	y	K  H  f x, y	y
0	x0	y0	K 0 1	K 0 1
	x  ^H 0 2	K 0 y  1 0 2	K 0 2	K 0 2
	x  ^H 0 2	K 0 y  2 0 2	K 0 3	K 0 3
	x0  H	y  K 0 0 3	K 0 4	K 0 4
				y0
1	x1	y1

1 — jadvalni toʻldirish tartibi.

1. 
   Jadvalning birinchi satriga
   

x₀ , y₀
berilgan qiymatlarni yozamiz.

₂₎ f x₀ , y₀ 
yozamiz.
ni hisoblab h ga koʻpaytiramiz va
0

K
1
sifatida jadvalga

_{h K} ⁰

3) Jadvalning ikkinchi satriga
x₀ 
, y₀  ¹
larni yozamiz.

2 2
_{h K} ⁰

5) Jadvalning uchinchi satriga
x₀ 
, y₀  ²
larni yozamiz.

2 2

sifatida jadvalga yozamiz.

7. 
   Jadvalning toʻrtinchi satriga x
   

• 
  h, y
  
• 
  K ^0 larni yozamiz.
  

7. 
   
   
   f _x
   

• 
  h, y
  

0 0 3

• 
  K^0 ni hisoblab H ga koʻpaytiramiz va
  

_K 0

0 0 3 ⁴
sifatida jadvalga yozamiz.

7. 
   y
   

ustuniga
_K 0 _{, 2K} 0 _{, 2K} 0 _{, K} 0
larni yozamiz.

1 2 3 4

7. 
   

y ustundagi sonlarning yigʻindisini 6 ga boʻlib,
y₀
sifatida

jadvalga yozamiz.

7. 
   

y₁  y₀  y₀
ni hisoblaymiz.

Keyingi navbatda
(x₁ ,
y₁ ) ni boshlangʻich nuqta sifatida qarab

hisoblashlarni shu singari davom qildiramiz.
Runge- Kutta usuli yordamida EHMlarda qadamni avtomatik tanlab hisoblashlar bajarilganda hisoblashlar ikki marta bajariladi.

Birinchisida h qadam bilan, ikkinchisida esa
h  ^h
2
qadam bilan. Agar bu

holda olingan y_i ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda

keyingi
^xi1
nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam

qoʻllaniladi.
Runge - Romberg qoidasi
^h _va



y
^h/2
k

izlanayotgan

k

y
funktsiyaning mos ravishda ^h va
h /2
qadamlarda hisoblangan

qiymatlari, hamda ^ - berilgan absolyut hatolik boʻlsin.
Barcha k larda ushbu

_yh  _{ y}H  _{ }
(6)

2k k

tengsizlik bajarilganda berilgan aniqlikdagi hisoblashga erishildi deb

hisoblanadi. ^h va
h /2
qadamlarda izlanayotgan funktsiyaning

qiymatlari hisoblanadi va (6) tengsizlik teksheriladi. Agar (6) tengsizlik barcha k larda bajarilsa hisoblashlar yakunlanadi.
Misol. Runge - Kutta usulida [0 ; 0,45] kesmada ^{y  x  y}

differentsial tenglamaning (Koshi masalasini)

10. 
     0 da
    

y  1

boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini 0.001 aniqlikda hisoblang.