Жаббаров, Юсупов

Tayanch iboralar: Tebranishlar, garmonik, amplituda, yig’indi, faza, natijaviy, 
aylana, ellips, to’g’ri chiziq, chastota. 
 
 
Ko’pincha  jism  bir  yoki  bir  necha  tebranma  harakatlarda  ishtirok  etayotgan 
holda bo’ladi. Masalan, sharcha prujina orqali ressorlari tebranayotgan vagon shipiga 
osilgan  bo’lsa,  uning  Yerga  nisbatan  harakati  vagonning  tebranishi  prujinaning 
vagonga nisbatan tebranma harakatlarining yig’indisidan iborat bo’ladi. Hosil bo’lgan 
yig’indi  tebranishlarning    tabiati  qo’shiluvchi  tebranishlarning  fazasi,  chastotasi, 
amplitudasi va yo’nalishlariga bog’liq bo’ladi. 
Garmonik tebranishlarni qo’shishning oddiy hollarini qaraymiz. 
 
1. Bir yo’nalishda tarqalayotgan ikki tebranishlarni qo’shish. Doiraviy chastotalari va 
fazalari bir xil, amplitudalari har xil. 
 
                                       
                                                     (163) 
 
                                              
                                                    (164) 
 
Jismning  bir  yo’la  ikki  tebranma  harakatda  muvozanat  holatdan  siljishi  x  alohida 
tebranishlardagi siljishlari x
1
 va x
2
 larning algebraik yig’indisidan iborat: 
                     
                          (165) 
                
ya’ni  amplitudasi  A
1
  va  A
2
  larning  yig’indisi  A  dan  iborat  shunday  chastotali 
garmonik tebranishlar hosil bo’ladi. 
2.  Doiraviy  chastotalari  va  amplitudalari  bir  xil,  fazalari  har  xil 
; 
  bu  yerda  Ө-fazalar  farqi.  Sinuslar  qo’shish  formulasini  qo’llab, 
quyidagini olamiz: 

---

64 
 
 
             
                 (166) 
bu holda shunday chastotali, ammo faza jihatdan birlamchi fazalar farqining yarmiga 
farq qiladigan garmonik tebranishlar hosil bo’ladi. 
     B=2Acos
2

 amplituda birlamchi tebranishlar amplitudalari yig’indisidan kichikdir. 
Faqat  fazalar  farqi 2π
+ 
ga karrali bo’lganda B=2A bo’ladi. Fazalar farqi (2n+1)π (bu 
yerda n=0,1,2,3…) bo’lganda, B=0 va qo’shiluvchi tebranishlar  «so’nadi». 
3. Amplitudalari bir xil doiroviy chastotalari bir-biridan kam farq qiladi: 
 
                          
 
 
U holda 
 
                  
                        (167) 
 
 
             Natijaviy  tebranishlar  garmonik  bo’lmagan  tebranishlardan  iborat  bo’ladi, 
chunki  x=Asinωt  tenglamaga  mos  kelmaydi.  Ammo 
2
2
2
1
2
1







  bo’lgani 
uchun  natijaviy  tebranishlarni  qariyb  vaqt  davomida  juda  sekin  o’zgaruvchi 
2
2
1





doiroviy chastotasi, 
2
1
4
2








T
davrga va  
t
A
2
cos
2
2
1



amplitudaga ega bo’lgan garmonik tebranishlar deb hisoblash mumkin. 
Bunday ko’rinishdagi tebranishlar biyeniye deb ataladi (48-rasm). 
 
 
48-rasm 
 
II. Bir-biri bilan o’zaro perpendikulyar tebranishlarni qo’shish. 
1. Doiroviy chastotalari va fazalari bir xil, amplitudalari har xil. x=Asinωt: y=A
2
sinωt 
bu  yerda    x  va  y-  jismning  birinchi  va  ikkinchi  tebranishlari  tufayli  hosil  bo’lgan 
siljishlari ikkinchi tenglamani birinchisiga bo’lsak 
x
A
A
y
1
2

ni olamiz, bu to’g’ri chiziq 
tenglamasidir.  Binobaring,  natijaviy  tebranishlar  muvozanat  vaziyatidan  o’tuvchi 

---

65 
 
to’g’ri  chiziq  yuzaga  kelgan  birinchi  tebranishlarga  nisbatan  α  burchak  ostida 
o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’ylab hosil bo’ladi: 
1
2
A
A
tg


. Natijaviy siljish   
 
 
 
Bu yerda 
2
2
2
1
A
A

-natijaviy tebranishlar amplitudasi: 
 
; 
                       (168) 
 
 
 
49-rasm 
 
 
50-rasm 
Bu  ikki  tenglamalarga  asosan, 

1
A
x
sinωt; 

2
A
y
  cosωt  munosabatlarni  olamiz,  uning 
ikkala  tomonlarini  kvadratga  ko’taramiz  va  o’ng  va  chap  tomonlarini  mos  ravishda 
qo’shamiz, u holda 
 

---

66 
 
Formula           
        (196) 
 
Bu  ellips  tenglamasidan  iboratdir.  Binobarin,  jismning  natijaviy  harakati  yarim  o’qi 
qo’shiluvchi tebranishlar  amplitudalariga  teng  bo’lgan  ellips  bo’ylab  yuzaga  keladi.  
Agar  A
1
=A
2
=A  bo’lsa,  ellips  tenglamasi  aylana  tenglamasi (x
2
+y
2
=A
2
)  ga  o’tadi  va 
jism  aylana  chizadi.  Ө=0  va  Ө=π  bo’lsa,  ellips  to’g’ri  chiziqqa  aylanadi.  Agar 
qo’shiluvchi  tebranishlar  har  xil  chastotaga  ega  bo’lsa,  natijaviy  harakat 
trayektoriyasi  murakkab  va  hosil  bo’ladigan  shakllar  ko’rinish  jihatdan  har  xil 
bo’ladi. Ularga Lissaju figuralari deyiladi (51-rasm). 
 
 
 
51-rasm