Ixtisoslikdagi

8°. Tekislikka doir masala- larni yechishda uch noma’lumli ikkita bir jinsli tenglama siste- masi
falx + bxy + cyz = 0 ,
[a^x + b2y + c2z = 0

ni yechish tez-tez uchrab turadi. Bu kabi sistemalami yechish III bobda qaralgan edi. Uning yechimi formulasini keltiramiz:

_{x =} h ci bx
_{b2 c2}^{k, y =} _°2 ■k, z =_b2 ^{■k, (15)}
bu yerda k —ixtiyoriy son hamda determinantlaming hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli.
9°. Berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi. Berilgan Mx(x{, y,; zx), M2(x2; y2; *2)v a M 3(x3; y3; z() nuqta- lardan o‘tuvchi tekishk tenglamasi

X - xx _{y - y i Z - Z x}

^{X2 Xx} y2 - y i Z2-Zi ^(16)
X1>< y2- y i Z3-Zi

ko‘rinishda bo‘ladi.

1-misol. Mx(2; 3; 2) va M2(l; 1; 0) nuqtalardan o'tuvchi va
Ox o‘qiga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasini yozing.
1 1 4



► Ox o‘qiga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasi By + Cz+ D = 0 ni olamiz. Agar tekislik berilgan nuqtadan o‘tsa, u holda uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantiradi. M{ va M2 nuqtalaming koordinatalarini tekislik tenglamasiga qo‘ysak,
f-3 B + 2C + D = 0,
B + D = 0
tcnglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. B, C va D koeffitsiyentlami aniqlash uchun, uch nom alum li ikkita bir jinsli tenglama sistemasiga ega bo‘ldik. Bu tenglamalar koeffitsiyentlari yordamida
(-3 2 n
matritsani tuzamiz. 8 °-bandda qaralgan formuladan foydalanib,
B ^{2 1 k, C} D = ^{-3 2} ■k,
0 1 1 0


B = 2 k, C = 4 k, D = -2 k larni topamiz. B, C va D ning topilgan qiymatlarini tekislik tenglamasiga qo‘yib, 2 ky + 4kz - 2k = 0 yoki y + 2z - 1 = 0 ni hosil qilamiz. Bu tekislik tenglamasi.
2 - misol. 2x +y - z + 6 = 0 tekislikkoordinata o‘qlarini qanday
birliklarda kesib o‘tadi?
► Masalani ikki usul bilan yechamiz.
I usul. M a’lumki, Ox o'qida yotuvchi nuqtaning y va z koordinatalari nolga teng. Tekislik tenglamasida y = 0, z = 0 desak, 2x + 6 = 0 bo'lib, bundan x =-3 . Bu tekislikning Ox o'qidan kesib o‘tuvchi kesmasi miqdori (birligi).
Xuddi shunday, x = 0, z = 0 desak, y + 6 = 0 yoki y = -6 kesma o‘qidan kesgan bo‘lagi (birligi), x = 0 , y = 0 desak, z ( 6 = 0 , z = 6 kesma Oz o‘qidan kesgan bo‘lagi (birligi).
II usul. Tekishk tenglamasidagi ozod hadni tenglikning o‘ng lomoniga o‘tkazamiz: 2 x + y - z = -6. Tfcnglikning har ikkala lomonini — 6 ga bo'lamiz. ^ 1 = 1- Bu yerdan a = - 3 , h - —6 , c = 6 kelib chiqadi. ^
115



3- misol. 5x + l y - 34z + 5 = 0 tekislik tenglamasini nor ko‘rinishga keltiring.
Tekislik tenglamasini normal ko‘rinishga keltirish uchun (10) formula yordamida normallashtiruvchi ko‘paytuvchini topamiz. Qaralayotgan hol uchun ko‘paytuvchining minus ishorasi olinadi. Berilgan tcnglamada A = 5, B = 7, C = -34 . Demak,


N = - l r------ = —- L - .
-y/52+72 34)2 ^/1230

Endi berigan tenglamani shu songa ko‘paytiramiz. Natijada tenglama ushbu ko‘rinishni oladi:

- - F=⁵ = x - - T=⁷ = y +^, -F³=⁴ = z - - i=⁵== = ⁿ0. <4^{^} VI230 V1230 VT230 VI230


4- misol. Koordinatalar boshidan 15 x-10 y + 6 z-1 9 0 tekislikka tushirilgan perpendikular uzunligini va bu perpendikular bilan koordinata o‘qlari orasidagi burchaklami toping.
Tekislik tenglamasini normal ko‘rinishga keltiramiz. (10)
formula bilan N = ^~ normallashtiruvchi ko‘paytuvchini topamiz.
19
Berilgan tekislik tenglamasining ikki tomonini ~ ga ko‘paytirib,
tekislikning normal ko'rinishdagi tenglamasini olamiz:
H x . _0
19 — y + — Z- 1 0
197 19
buyerdap = 10, coscc = -^, cos)3 =--j^ cosy = ^ . Bu tenglik- larning o ‘ng tomonidagi oddiy kasrlarni o‘nli kasrga aylantirib,
a, /i, y larning qiymatini topamiz:
co sa = 0,7894, a = 3710',
cos p = 0,5263, p = 58°44', <4
cosy = 0,3157, y = 7T24'.


5 - m i s o l . A / ( 5 ; l ; - l ) n u q ta d a n x - 2 y - 2 z + 4 = 0
tekislikkacha bo‘lgan masofani toping.
116


► Nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofa (14) formula bilan topiladi. Bu yerda A= 1, B = - 2, C = -2, x0 =5, y0 = 1, z0 = -1 ,. Bu qiymatlami (14) ga qo‘ysak,
_{d =} 1-5+(-2)-l+(-2)-(-l)+4 ^{|5-2+2+4| _ 9} ₃ Vl2+(-2 )2+(-2)2 ^{3 3}

liosil bo'ladi.

6 - misol. M (2; 3; - 1) nuqtadan 2x —3y + 5z ~ 4 = 0 tekis- likka parallel tekishk o‘tkazing.
► M nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini ( 1 2 ) formulaga asosan yozamiz:


A(x - 2) + B(y - 3) + C(z + 1) = 0.

Ikki tekislikning parallellik shartiga ko‘ra, A = 2k, B = 3k, C = 5k b o 'la d i . B u larni oxirgi ten g lik k a q o 'y sak , 2k(x - 2) - 3k(y - 3) + 5k(z + 1) = 0 yoki 2x - 3y + 5z + 10 = 0 kehb chiqadi. Bu izlanayotgan tekislik tenglamasi.

Masalani boshqa usul bilan ham yechish mumkin. Parahel tckisliklar bir-biridan faqat ozod hadlari bilan farq qihshi mumkin. Shunga asosan, berilgan tekislikka parallel tekishklar oilasi 2x - 3y + 5z + D = 0 ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu tenglamaga M nuqtaning koordinatalarini qo‘yamiz va D ning qiymatini topamiz: 2 •2 - 3 • 3 + 5 • (-1) + Z> = 0 =*► D 1=0 ,bu qiymatni oxirgi tenglikka qo‘yib, 2x - 3y + 5z + 10 = 0 tenglamani olamiz. ^
7-misol. Mt( - 1; -2 ; 0)va M2 (l; 1; 2) nuqtalardan o‘ta- diganx + 2y + 2 z - 4 = 0 tekislikkaperpendikular bo‘lgan tekishk tenglamasini yozing.
► Berhgan nuqtadan o‘tib, berilgan normal vektorga ega tekishk lcnglamasi ( 1 2 ) ko‘rinishda bo‘ladi. ( 1 2 ) fohnuladagi x0, y0, z0
lar o‘miga Mx nuqtaning koordinatalarini qo‘yib quyidagini
olamiz:
117


A(x + 1) + B(y + 2) + C(z - 0) = 0. (*)
Xuddi shunday, bu tekislik M, nuqtadan ham o‘tadi, u holda bu nuqtaning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantiradi:
-4(1 + 1) + B( 1 + 2) + C(2 - 0) = 0
bundan
2A + 3B+2C = 0.
Izlanayotgan tekislik berilgan tekislikka perpendikular bo‘lishi kerak. Shuning uchun ikki tekislikning perpendikularlik shartiga asosan,
l- A + 2- B + 2 C = 0
bo‘ladi. Oxirgi ikki tenglikni birlashtirib, uch nomahumli ikkita bir jinsli tenglama sistemasini hosil qilamiz:
(2A + 3B + 2C = 0,
[ A + 2B + 2C = 0.
Bu sistemani (15) formula bilan yechib, A = 2k, B = -2k, C =k lami topamiz. A, B va C laming qiymatini (*) ga qo‘yib va k
ga qisqartirib 2(x +1) - 2(y + 2) + z = 0 ni hosil qilamiz. Buni soddalashtirsak, izlanayotgan tekislik tenglamasi kehb chiqadi: 2x - 2y + z - 2 = 0 . ^
( 5 x - 3 y + 4 z - 4 = 0,
8 - misol. j 2x - 4y - 2z +5 = 0 te^ s^ ar orasidagi o‘tkir bur-
chakni toping.
Ikki tekislik orasidagi o‘tkir burchak (13) formula bilan topiladi. Birinchi tenglamadan Ax = 5, Bx = -3, Q = 4. Ikkinchi tenglamadan A^ = 3, B2 = -4, C2 = -2,
15+12—8 19
C°S^ = ’ cos^ = 0,49; ,, = 6 0 - 0 4 '. ^


118


9-misol. Mj(l; - 1 ; 2), M2(2; 1; 2)va M 3(l; 1; 4) nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing.
Izlanayotgan tekislik tenglamasi (16) formulaga asosan:


_{x - 1 y + 1 z ~ 2} x —1 y + 1 z- 2
^{2 - 1 1 + 1 2 - 2} = 0 yoki ^{1 2 0}
1 - 1 1+1 4 - 2 ^{0 2 2}

Determinantni hisoblaymiz: 4(x -1 ) + 2(z - 2) - 2(y + 1) = 0. Bu yerdan 4x - 2y + 2z - 1 0 = 0 yoki 2x - y + z - 5 = 0. Bu izlangan tekislik tenglamasi.