Ix bob. Prediktor – korrektor usuli 1-§. Bir o`lchovli masalalar uchun sxemalar

IX BOB. PREDIKTOR – KORREKTOR USULI

9.1-§. Bir o`lchovli masalalar uchun sxemalar. Uzunasiga – ko`ndalangiga progonka sxemasi ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo`lgan holda, shartli turg`un bo`ladi va uni uch o`lchovli hol uchun qo`llab bo`lmaydi, stabillashtiruvchi tuzatmalar usuli esa absolyut turg`un bo`lgan holda vaqt t bo`yicha birinchi tartibli aniqlikka ega. Prediktor – korrektor sxemasi absolyut turg`un bo`lib, u vaqt t va fazoviy o`zgaruvchilar bo`yicha ikkinchi tartibli aniqlikka ega, hamda uch nuqtali progonka sxemasi yordamida yechiladi.

Prediktor – korrektor usulini oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasi misolida ko`rib o`tamiz

(9.1)

Agarda ushbu masalani yechishga odatdagi trapetsiya usulini qo`llasak

(9.2a)

yoki

(9.2b)

Mazkur sxemalar o`ng tomonning chiziqli emasligi evaziga iteratsiyalarni qo`llashni taqozo etadi. Quyidagi prediktor – korrektor sxemasi esa

(9.3a)

(9.3b)

ikkinchi tartibli aniqlikka ega va iteratsiyalar talab qilmaydi.

Prediktor – korrektor sxemasi (9.3) quyidagicha amalga oshiriladi, berilganligi va funksiyaning ko`rinishi ma’lum bo`lganligi sababli, dastlab sxema (9.3a) dan oraliq qiymat aniqlanadi, ya’ni

(9.4a)

so`ngra sxema (9.3b) dan topiladi:

(9.4b)

Shunday qilib, ushbu to`rda

oraliq qiymat topiladi. So`ngra ayirmali sxema (9.4) quyidagi algoritm asosida hisoblanadi:

9.2-§. Ko`p o`lchovli holat. Prediktor – korrektor usulini ko`p o`lchamli xususiy hosilali tenglamalarni yechishga tadbiq etish mumkin. Shu maqsadda uch o`lchamli issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini qaraylik

(9.5)

bu yerda ko`p o`zgaruvchili funksiya. Ushbu tenglama uchun

sohada da boshlang`ich shart, hamda da oltita chegaraviy shartlar qo`yiladi. Qo`yilgan masalani yechish uchun prediktor – korrektor qoidasiga asoslangan sxema quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

(9.6a)

(9.6b)

(9.6c)

(9.6d)

Tenglamalar (9.6a-9.6c) prediktor sxemasi (stabillashtiruvchi tuzatmalar sxemasi) bo`lib, u funksiya u ning qiymatini qatlamdan qatlamga olib chiqadi, tenglama (9.6d) esa korrektor sxemasi bo`lib hisoblanadi.

Endi sxema (9.6) ning absolyut turg`unligini va vaqt t hamda o`zgaruvchilar bo`yicha ikkinchi tartibli aniqlikka ega ekanligini ko`rsatamiz. Ayirmali sxemalar (9.6a)-(9.6d) dan kasrli qadamlar larni yo`qotish orqali quyidagi sxemaga ega bo`lamiz:

(9.7)

Bundan ayirmali sxema (9.6) ning absolyut turg`unligi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega ekanligi kelib chiqadi.

Absolyut turg`un va ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo`lgan yana bir ayirmali sxemani keltiramiz:

(9.8)

Ayirmali sxema (9.8) ni boshqacha qilib quyidagicha ham yozish mumkin:

(9.9)

Bundan ko`rinadiki, ushbu sxema stabillashtiruvchi tuzatmalar sxemasi oilasiga mansub sxemadan iborat. Bu sxemadan ham kasrli qadamlarni yo`qotsak, ayirmali sxema (9.7) ni hosil qilamiz, ya’ni sxemalar (9.6) va (9.8) o`zaro ekvivalent.

Prediktor – korrektor tipidagi yana bir ayirmali sxemani keltiramiz:

(9.10a)

(9.10b)

(9.10c)

(9.10d)

Ayirmali sxemalar (9.10a)-(9.10c) ajratish sxemasiga asoslangan prediktor sxemalari, sxema (9.10d) esa korrektor sxemasi bo`lib hisoblanadi. Ayirmali sxema (9.10) butun qadamlarda ushbu ko`rinishga ega bo`ladi:

(9.11)

Bu sxema ayirmali sxema (9.7) bilan mos tushadi, ya’ni ayirmali sxemalar (9.10) ilgarigi sxemalarga ekvivalent.

Prediktor – korrektor qoidasiga asoslangan sxemalarni approksimatsion tuzatmalar sxemasi deb ataymiz.

Ayirmli sxemalar (9.6), (9.9) va (9.10) dagi har bir tenglamalar progonka metodi bilan yechiladi.