Ix боб. Абсолют каттик жисмнинг текис параллел ҳаракати

66-§. МАСАЛА ЕЧИШГА ОИД МЕТОДИК КЎРСАТМАЛАР
Қаттик жисм текис - параллел ҳаракат динамикасининг масалаларини куйидаги тартибда ечиш тавсия этилади:
1. Координата уклари системасини танлаб олиш керак ва айланиш бурчаги ф нинг йўналишининг мусбат томонини аниклаб олиш керак.
2. Каттик жисмга қўйилган ҳамма ташки кучларни ва боғланиш кучларини шаклда кўрсатиб, уларни ифодалаб олиш керак.
3. ларни ҳисоблаб олиш керак.
4. Харакатнинг бошланғич шартларини топиб олиш керак.
5. (65.2) система дифференциал тенгламаларини тузиш керак.
6. Тузилган тенгламаларни интеграллаб изланаётган номаълумларни топиш керак.
67-§. МАСАЛАЛАР
85- масала. (И. В. Мешчерский, 1085).
Автомобилнинг етакланувчи ғилдиракларининг ўки горизонтал ва тўғри чизиқли ҳаракат қилади. Ғилдирак ўқига горизонтал йўналган ҳаракатлантирувчи куч таъсир қилади. Ғилдиракнинг ғилдирак оғирлик марказидан унинг текислигига тик ўтган ўкка нисбатан олинган инерция радиуси га тенг. Ғилдиракнинг ерда сирғанишидан ҳосил бўладиган ишқаланиш коэффициенти га тенг. Ғилдиракнинг радиуси ва огирлиги . Ғилдирак сирғанмай ғилдираши учун куч қандай шартни қондириши керак? Юмалаш қаршилиги ҳисобга олинмасин (93- шакл).
Ечиш. Координата ўкларини 93- шаклда кўрсатилганидек йўналтирамиз.
Ғилдирак сирганмай юмалаши учун, унинг ер билан ишқаланиш кучи унинг максимал сирғаниб ишқаланиш кучидан катта бўлмаслиги керак, яъни

бу ерда сирганиб ишқаланиш кучи;
нормал босим кучи.
Ғилдиракка кўйилган ташғи кучлар: куч, оғирлик кучи, нормал реакция кучи ва ғилдирак ер билан тегишган нуктасига қўйилган, ер буйлаб ғилдирак айланиш томонига йўналган ишғаланиш кучларидан иборат.
Fилдиракнинг инерция маркази тўғри чизиқли ҳаракат қилади, шунинг учун

Ғилдирак сирғанмасдан юмаланишида унинг кинематик шарти шундан иборатки, ғилдиракнинг ер билан тегишган нуқтаси унинг оний тезлик маркази бўлади.
Ғилдиракнинг оғирлик марказидан ўтувчи ва шакл текислигига тик ўки атрофида айланиш бурчагини билан белгилаймиз, у вақтда
₍₃₎

(4)

эканлигини таъкидлаб ўтамиз.
Текис - параллел ҳаракатнинг (65.2) тенгламалари ғилдирак учун куйидагича бўлади:
(5)
(2), (3) лардаги муносабатларни назарга олсак (5) қуйидагича бўлади:
(6)
(6) тенгламалардан
(7)
(6) нинг иккинчисини ва (1) муносабатни назарга олсак, куйидаги келиб чикади:

86- масала (Н. Н. Бухгольц, И. М. Воронков ва А. П. Минаков,701).
Оғирлиги кг булган цилиндр горизонтга бурчак остида огма бўлган текисликда ўз огирлиги таъ- сирида сирганмай юмаламоқда (94-шакл). Цилиндр марказининг тез- ланиши, цилиндрнинг текисликка босими ва цилиндрни сирганишга йўл қўймаётган
ишқаланиш кучи топилсин.
94-шакл
Ечиш. ўқини оғма текислик бўйича. ўқини унга тик қилиб йўналтирамиз. оғирлик куч, оғма текисликнинг нормал реакцияси ва ишқаланиш кучи цилиндрга куйилган ташки кучлар бўлади.
Цилиндр массасининг маркази ўқи бўйича кўчмагани учун бўлади, шунинг учун ҳамма кучларнинг шу ўқларга проекцияларининг йигиндиси ҳам нолга тенг булади, шундай қилиб,
(1)
бундан:
, (2)
(65.2) системанинг қолган иккита тенгламасини тузишда ни хисобга оламиз.
Юмалаш қаршилигини ҳисобга олмай ва цилиндрнинг айланиши йуналишида бўлган куч моментининг йўналишини мусбат деб ҳисоблаб тенгламаларни тузамиз:
(3)
бу тенгламаларда учта ва лар номаьлум (бу ерда деб ҳисоблаш мумкин эмас, чунки бундай тенглик ҳажмнинг тегишган нуктаси текисликда силжиганидагина бўлади, силжиш бўлмаганда бўлиши мумкин). Номаълумлар орасида бўлган қўшимча боғланишни фақат юмалашда
(4)
бўлишини назарга олиб тузамиз, (4) ни вақтга нисбатан дифференциаллаймиз:
(5)
Агар цилиндр узлуксиз масса билан қопланганини назарга олсак (яъни ни) у вактда (3) нинг иккинчиси куйидагича бўлади:
(6)
нинг бу қийматини (3) нинг биринчисига қўямиз, у ҳолда

(7)
булади. Энди (7) дан ни топамиз:
(8)
Сирганмай юмалаётган цилиндрга шундай ишкаланиш кучи таъсир килиши керак.
87- масала (И. В. Мешчерский, 1091).
Огирлиги бўлган юк пастга тушиб, огирлигини ҳисобга олмаса бўладиган ва чўзилмайдиган ип билан гилдиракни горизонтал рельсда сирганмай юмалашга мажбур қилади; ип кузгалмас блокдан ўтказилган ва барабанга ўралган. радиусли барабан радиусли гилдиракка махкам бириктирилган; уларнинг умумий огирлиги га тенг, горизонтал

95-шакл
ўкка нисбатан олинган инерция радиуси эса р га тенг. юкнинг тезланиши топилсин (95- шакл).
Ечиш. Координата укларини 95- шаклда кўрсатилганидек йўналтирамиз. Барабан гилдирак билан бирга текис-параллел ҳаракат қилади. Унга ўзининг огирлиги, сирганиб ишкаланиш кучи, нормал босим ва ипнинг , тортиш кучи кўйилган. Барабаннинг инерция маркази тўгри чизик бўйлаб ҳаракат килишини таъкидлаб ўтамиз, яъни
(1)
Ҳамма кучларнинг ҳар қайси координата ўкидаги проекцияларининг йиғиндисини ва кучларнинг нуктага нисбатан моментларининг йигиндисини ҳисоблаймиз:

(2)

(65,2) тенгламага асосан қуйидагича бўлади:

(3)
3) дан сирғаниб ишқаланиш кучи ни чиқарамиз, бунинг учун (3) нинг биринчисини га кўпайтириб учинчисига кўшамиз:

Бундан ни назарга олиб , ни толамиз:
(4)
Агар барабан Е нуктасининг айланишидаги тезланиши А юкнинг тезланишига тенглигини ҳисобга олсак, куйидаги муносабат ҳосил бўлади:
(5)
бунга асосан (4) куйидаги кўринишга келади:
(6)
юкнинг харакат дифференциал тенгламасидан:
(7)
Бунга (6) дан , нинг кийматини олиб куйиб, ни топамиз:

88- масала (И. В. Мешчерский, 1093).
Огирлиги Р булган бир жинсли стержень, узунлиги шу стержень узунлигига тенг булган иккита ип билан О нуктага осилган. Бир ип узилганда иккинчи ипда ҳосил бўладиган тортилиш топилсин (96- шакл).
96-шакл
Ечиш. Координата укларини шаклда курсатилгандек оламиз. ип узилгандан кейин стерженнинг нукта атрофидаги айланиш бурчагини билан белгилаймиз ва уни нихоятда кичик деб ҳисоблаймиз.
Стерженга унинг огирлиги ва ипнинг реакцияси каби ташки кучлар таьсир килади.

Кучларнинг ҳар кайси координата уклардаги проекциялариинг йигиндисини ва кучларнинг нуктага нисбатан моментларининг йигиндисини топамиз:

(1)
(65,2) тенгламаларга асосан, куйидагилар топилади:
(2)
бу ерда стерженнинг нуқтага нисбатан инерция моменти.
Айланиш бурчаги жуда кичик бўлганида
(3)
деб ҳисоблаш мумкин. Бундан фойдаланиб (2) системанинг иккинчи ва учинчиларидан ни чикарамиз:

бундан ни топамиз:

89- масала (И. В. Мешчерский, 1097).

Огирлиги ва бўлган иккита цилиндрик вал горизонт билан тегишлича а ва бурчак ҳосил қилувчи иккита огма текисликда юмалайди. Валларнинг учи валларга ўралган ва уларга богланган чўзилмайдиган ип билан туташтирилган. Ипнинг тортилиши ва унинг огма текисликларда киладиган ҳаракатининг тезланиши аниклансин. Валлар бир жинсли доиравий кесимли цилиндр деб ҳисоблансин. Ипларнинг огирлиги ҳисобга олинмасин (97- шакл).
Ечиш. Арконнинг ҳаракат қилаётган нуқтасининг тезлавишини билан белгилаймиз ва 97- шаклда кўрсатилгандек йўналтирамиз. ўкини векторнинг мусбат йуналиши томонига йуналтирамиз.
Иккала цилиндрнинг ҳам богланишларини реакциялар билан алмаштириб, боғланишдан кутказамиз, ҳамда мураккаб цилиндрларнинг ҳаракатини ип билан бирга буладиган илгарилама кучирма ва инерция марказлари атрофида айланувчи нисбий айланма ҳаракатларга ажратамиз. 97-шакл.
Бу ҳолда:
(1)
бу ерда ва – биринчи ва иккинчи цилиндрларнинг атрофида айланиш бурчаклари.
Цилиндрларни (65.2) текис-параллел харакат дифференциал тенгламаларини тузамиз:
Биринчи цилиндр учун:
(2)
Иккинчи цилиндр учун:
(3)
(3) система тенгламаларини тузишда, Ох ўқи ипнинг ҳаракати томонга йўналган деб ҳисоблаймиз. (2) ва (3) система тенгламаларидан:
(4)
Бу (4) система тенгламаларини кўшамиз:
(5)
(4) системадан ни чикарсак, куйидаги келиб чикади: