История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Теорема 18. Для любых натуральных чисел а и b; существует та­кое натуральное число n, что п b> а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п, что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравен­ства п > а и b > 1, получаем пb > а.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.
1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством
дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.
2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.
3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется не­
равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.
Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержа­щееся в данном множестве М, - число 10.
Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества нату­ральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.
С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел млад­шие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется оп­ределение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».