движении, подчиняются не тем законам, которые справедливы для описания
отдельных частиц, а другим, статистическим закономерностям.
Таким образом, Больцман вслед за Максвеллом рассматривал кинетические,
тепловые явления на основе статистических закономерностей. Связав
Н-функцию с
энтропией, Больцман тем самым, по словам Лоренца
«вышел за пределы классической
термодинамики. Последняя может определить энтропию только для систем,
находящихся в неизменном состоянии, а также для систем, состоящих из различных
фаз, каждая из которых, рассматриваемая отдельно, находится в стационарном
состоянии, хотя они могут и не находиться в равновесии друг с другом. Если
определить величину –Н как энтропию, то со словом энтропия будет соединяться
ясное понятие и тогда, когда внутреннее состояние газа нестационарно. Здесь снова
обнаруживается превосходство атомистики над феноменологической теорией, как
можно назвать термодинамику».
Н-теорема Больцмана вызвала в свое время возражения, известные как
парадокс
обратимости Лошмидта и
парадокс периодичности Пуанкаре-Цермело. В 1876 г.
Лошмидт указал, что микроскопическая обратимость во времени уравнений движения
отдельных молекул противоречит одностороннему протеканию явлений в макроско-
пических системах. Говорят, что на это возражение Больцман отреагировал так:
«Ступайте, поверните их!» В современном понимании парадокс обратимости
разрешается следующим образом. Состояние газовой системы, полученное из его
естественного состояния с помощью обращения знаков скоростей всех молекул на
противоположные, является чрезвычайно маловероятным и практически в природе не
реализуется.
Парадокс периодичности, указанный Цермело в 1896 г.,
состоял в том, что
изолированная динамическая система с ограниченной энергией и конечными
размерами за достаточно большой промежуток времени вернется в состояние, сколь
угодно близкое к исходному состоянию. Этот промежуток времени называют
временем возврата, или
периодом цикла Пуанкаре. Говорят, что на это возражение
Больцман ответил:
«Долго же вам придется ждать». Дело в том, что это время воз-
врата для газа, находящегося в объеме умеренных размеров, чудовищно велико. Оно
превышает возраст Вселенной, оцениваемой как 10
10
лет! Иными словами,
такое
событие не будет наблюдаться никогда.
Парадоксы Лошмидта и Цермело имели принципиальное значение для
понимания природы необратимых процессов и состояния равновесия.
Возрастание
энтропии по Больцману является результатом перехода системы из менее вероятных
состояний в более вероятные. При этом состояние равновесия оказывается наиболее
вероятным состоянием. Наблюдаемая необратимость макроскопических процессов
представляется как статистический результат огромного числа обратимых
микропроцессов: число микропроцессов, протекающих в одном направлении,
подавляюще велико по сравнению с числом микропроцессов, протекающих в
обратном направлении. Поэтому необратимые процессы можно рассматривать как
наиболее вероятные процессы. Так что
Н-теорема описывает
наиболее вероятное
поведение системы и ничего не говорит о менее вероятных ситуациях.
Вероятностный смысл возрастания энтропии базируется на знаменитой формуле
S =
kln
W, где
k - постоянная Больцмана,
W -термодинамическая вероятность.
Эта формула, выражающая
принцип Больцмана, высечена на могиле великого
Больцмана на Венском кладбище, хотя сам он эту формулу не писал. Он говорил
только о пропорциональности между энтропией и логарифмом вероятности
термодинамического состояния. Такую формулу написал Планк, он же ввел и
постоянную Больцмана. Термодинамическая вероятность
W определяется по правилам
комбинаторики. Например, в случае идеального газа, состоящего из
N молекул,
заключенных в данный объем
V, и имеющего полную энергию
U, расчет проводится
так. Если каждая молекула имеет
f степеней свободы, то размерность фазового
пространства равна
Nf. Фазовое пространство делится на конечное, хотя и очень
большое число ячеек
М: 1, 2, 3, ...,
к, .... М. Допустим, что молекулы совершенно
произвольно распределены по этим ячейкам, так что числа заполнения этих ячеек
равны
n
1
, n
2
, n
3
,..,n
k
,…, n
M
. При этом полное число молекул N=
. Каждое
распределение чисел
n
k
характеризует определенное микросостояние газа. Число
различных распределений из
N молекул по
М ячейкам, соответствующих одному и
тому же микросостоянию газа, и называют термодинамической вероятностью:
Согласно принципу Больцмана энтропия имеет смысл меры молекулярного
хаоса, а закон возрастания энтропии отражает возрастание дезорганизации
(беспорядка) в системе. Современные исследования этого вопроса основываются на
том, что вследствие динамической неустойчивости (хаоса) движения атомов в газе
происходит перемешивание. Таким образом может быть понят переход от обратимых
уравнений механики Гамильтона к необратимому кинетическому уравнению
Больцмана (
Ю.Л. Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса. - М.:
Наука, 1990).
Вероятностное определение энтропии
тесно связано с понятием информации,
которое ввел американский математик Шеннон (1916-2001). Информация
I
определяется как величина, пропорциональная логарифму числа событий
с
одинаковыми априорными вероятностями, из которых производится выбор:
I =
log
2
Определения информации и энтропии совпадают с точностью до знака. Это не
только внешнее сходство. Можно сказать, что энтропия является мерой
информативности описания состояний системы. Чем меньше энтропия, тем больше
информации содержит описание системы.
Вернемся к демону Максвелла. В этом парадоксе тепло перетекает от более
холодной части системы к более теплой. Суть парадокса разъяснил Бриллюэн. Он
показал, что главный вопрос здесь заключается в том,
как демон может получить
информацию о молекулах. Чтобы увидеть молекулы, он должен их осветить. Для этого
ему нужен прибор, например, фонарик, с помощью которого можно получить кванты
света с энергией, превышающей энергию равновесных фотонов. Из расчетов следует,
что энтропия системы, включающей в себя идеальный прибор для получения
информации о молекулах, возрастает. В целом оказывается справедливым второй
закон термодинамики в обобщенном виде: Δ(
s-I) ≥ 0: за получение информации
необходимо расплачиваться повышением энтропии.
Do'stlaringiz bilan baham: