Issn 2181-9580 toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

n
a
Ф

0
lim



n
n
a
a
a
n

a
a
n

a
a
n


 
n
a
Ф

0
lim



n
n
a
N
n


0

n
a
Q
a

N
n


a
a
n

   
,
n
n
x
y



n
n
y
x

   
n
n
y
x
,
n
n
y
x
~
 
n
a

 
n
a
   
n
n
b
a
,



n
n
a
b
Ф




n
n
a b
Ф


0
lim



n
n
b
N
n


0

n
b
n
n
a
Ф
b
 

 
 
   
n
n
b
a
,

   
n
n
a
a

~
   
n
n
b
b

~

 

n
n
n
n
b
a
b
a




~
   
n
n
n
n
b
a
b
a


~
0
lim



n
n
a
0
lim



n
n
b
N
n


0

n
b
0


n
b














n
n
n
n
b
a
b
a
~

 
n
a

Q
r
a
n
n




lim
r
 
n
a
...
,
...,
,
,
,
r
r
r
r
...
,
...,
,
,
,
r
r
r
r
r
r
0,5; 0,54; 0,545;0,5454;0,54544;0,545445;0,5454454;0,54544544; ...
21

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/5 
b) 
va
c) 
va 
b) va c) misollardagi fundamental ketma-ketliklar qaysi sinfga tegishli? 
Agar 
ketma-ketlikning limiti ratsional son bo‘lsa, bunday ketma-ketlik 1-tur 
(yoki normal) ketma-ketlik deyiladi. Barcha 1-tur ketma-ketliklar to‘plamini 
deylik. Agar 
ketma-ketlikning limiti ratsional son bo‘lmasa, bunday ketma-ketlik 2-tur ketma-
ketlik deyiladi. Barcha 2-tur ketma-ketliklar to‘plamini 
desak, 
Ta’rif. Barcha o‘zaro ekvivalent 2-tur ketma-ketliklar sinfi irratsional son deyiladi. 
Kantor nazariyasida haqiqiy son quyidagicha ta’riflanadi: ratsional sonlarning o‘zaro 
ekvivalent fundamental ketma-ketliklarlarining sinfi haqiqiy son deyiladi. 
haqiqiy sonni 
aniqlaydigan sinfni 
deb belgilaymiz va simvolik ravishda 
kabi yozamiz. 
Demak, har bir sinf 
biror haqiqiy sonni ifodalaydi. Agar 
bo‘lsa, u aniqlagan son 
ratsional, agar 
bo‘lsa, u aniqlagan son irratsional sondir. 
sinf 
ga tegishli 
va unga ekvivalent bo‘lgan barcha ketma- ketliklardan 
iboratdir. 
Xususan, 
– ratsional son bo‘lsa, 
ketma-ketlik 
ga tegishli bo‘lgani 
uchun, ratsional ni aniqlovchi sinfni simvolik ravishda 
deb yozamiz. 
– ketma-ketlikning yuqorida keltirilgan xossalari haqiqiy sonlar ustidagi amallarni 
quyidagicha ta’riflash imkonini beradi. 
, 
bo‘lsin. 
№9. 
va 
haqiqiy sonlarning yig‘indisi deb 
sinf bilan aniqlanadigan
haqiqiy songa aytiladi va 
kabi yoziladi. Ya’ni, va haqiqiy sonlarning yig‘indisini 
aniqlash uchun 
ni aniqlaydigan sinfdan ixtiyoriy bitta ketma-ketlik, 
ni aniqlaydigan 
sinfdan ixtiyoriy bitta ketma-ketlik olinadi va bu ketma-ketliklar yig‘indisi tegishli bo‘lgan sinf 
aniqlaydigan haqiqiy son 
va 
haqiqiy sonlarning yig‘indisi deyiladi. Bu ta’rifning 
korrektligini, ya’ni yig‘indi 
va 
ni aniqlaydigan sinflardan ketma-ketliklarni tanlashga 
bog‘liq emasligini isbotlang. 
№10. va haqiqiy sonlarning ayirmasi deb 
sinf bilan aniqlanadigan 
haqiqiy songa aytiladi va 
kabi yoziladi. Yuqoridagi kabi ta’rifning korrektligini 
isbotlang. 
№11. va haqiqiy sonlarning ko‘paytmasi deb
sinf bilan aniqlanadigan
haqiqiy songa aytiladi va 
kabi yoziladi. Yuqoridagi kabi ta’rifning korrektligini 
isbotlang. 
0, 6; 0,546; 0,5456; 0,54546; 0,545446;...


,
3
1
3
,
,
81
28
,
27
10
,
9
4
1


n
n


,
3
1
3
,
,
81
26
,
27
8
,
9
2
1


n
n


,
6
1
2
,
,
18
7
,
12
5
,
2
1
n
n



,
3
1
,
,
3
1
,
3
1
,
3
1
 
n
a

1
Ф
 
n
a

2
Ф
1
2
Ф Ф
Ф



 
n
a
cl
 
n
a
cl

~



cl

1
cl
Ф
 

2
cl
Ф
 
 
n
a
cl

 
n
a

...
,
...,
,
,





 
n
a
cl

~

Ф
 
n
a
cl

~

 
n
b
cl

~





n
n
b
a
cl



















n
n
b
a
cl









 
n
n
b
a
cl






22

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/5 
№12. va haqiqiy sonlarning nisbati deb
sinf bilan aniqlanadigan haqiqiy 
songa aytiladi va 
kabi yoziladi ( va haqiqiy sonlar nisbatini ta’riflashda 
va 
uchun 
deb faraz qilinadi). Bu ta’rifning korrektligini isbotlang.
Bunda 1-3 masalalarni yechishda matematik analiz kursida yaqinlashuvchi ketma-
ketliklar uchun ifodalangan o‘xshash teoremalar isbotidan foydalanish mumkin. 4-
masalaning yechimi cheksiz kichik ketma-ketliklarning ekvivalentligi haqidagi teorema 
isbotiga o‘xshash.6-masala yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning arifmetik amallar bilan 
bog‘liq xossalari isbotiga o‘xshash. 7-masalaning yechimida 5 va 6 masala yechimlaridan 
foydalaniladi hamda 9-12 masalalarni yechishga asos bo‘ladi. Bu masalalarda talabalar yangi 
isbotlash metodini o‘rganadi.
Talabalarga mustaqil ishlash uchun haqiqiy sonlar to‘plamining maydon ekanini 
isbotlashni taklif qilish mumkin. 
Ushbu masalalar sistemasidan “Algebra va sonlar nazariyasi” fanining “Algebraik 
sistemalar” modulini o‘qitishda foydalanish ham mumkin. Bunda haqiqiy sonlar maydoni 
barcha fundamental ratsional sonlar ketma-ketliklarining nolga yaqinlashuvchi ketma-
ketliklari ideali bo‘yichafaktor halqa sifatida quriladi.
Bizning fikrimizcha, bo‘lg‘usi matematika o‘qituvchisi haqiqiy sonlar sistemasini 
rivojlanish tarixi, haqiqiy sonni ta’riflash usullarini (haqiqiy sonlarning turli nazariyalarini), 
ularning ekvivalentligi, haqiqiy sonlarning turli modellari haqidagi bilimlar bilan bir 
qatordaquyidagi integrativ bilimlarga ega bo‘lishi lozim: R – algebraik struktura (maydon); 
tartib (chiziqli tartiblangan to‘plam) hamda topologik (metrik fazo). Tartib – algebraik 
ma’noda R uzluksiz chiziqli tartiblangan maydon; topologik – algebraik ma’noda R algebraik 
yopiq bo‘lmagan bog‘lamli lokal kompakt maydon. Bu bilimlarni shakllantirishda algebra va 
sonlar nazariyasi, matematik analiz, geometriya, matematika tarixi fanlarini o‘zaro 
aloqadorlikda o‘qitish muhim.