Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №4 (138) / 2017 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор

Об одном представлении функции многих переменных,
имеющей невырожденный минимум
Исламова Дилноз Дилмурадовна, учитель математики; 
Халимова Шахноза Собировна, учитель математики
Бухарский медицинский колледж (Узбекистан)
Бахранова Гулрух Олимовна, учитель математики
Бухарский колледж культуры (Узбекистан)
П
усть 
3
]
,
[
:
π
π
−
=
Ω
. Рассмотрим вещественнозначную аналитическую функцию 
)
,
( ⋅
⋅
w
на 
2
Ω
. Получен одно 
важное представление для этой функции.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Условие 1. Функция 
)
,
( q
p
w
является четной по совокупности переменных 
Ω
∈
q
p,
, 
(
)
,
(
)
,
(
q
p
w
q
p
w
=
−
−
), имеет единственный невырожденный минимум в точке 
2
)
0
,
0
(
Ω
∈
 
и существуют положительно определенная матрица 
W
, числа 
)
0
,
0
(
,
2
1
2
1
≠
>
l
l
l
l
 такие, что 
W
l
q
p
w
W
l
p
p
w
j
i
j
i
j
i
j
i
2
3
1
,
2
1
3
1
,
2
)
0
,
0
(
,
)
0
,
0
(
=








∂
∂
∂
=








∂
∂
∂
=
=
. 
Замечание. Условия 1 выполняется в случае, когда 
)
(
)
(
)
(
)
,
(
q
q
p
p
q
p
w
ε
ε
ε
+
+
+
=
, 
где 
Ω
∈
=
−
−
−
=
)
,
,
(
,
cos
cos
cos
3
)
(
3
2
1
3
2
1
p
p
p
p
p
p
p
p
ε
. 
Действительно, простые вычисления показывают, что 

---

111
“Young Scientist” .  # 4 (138) .  January 2017
Mathematics
3
,
2
,1
),
sin(
sin
)
,
(
=
+
+
=
∂
∂
i
q
p
p
p
q
p
w
i
i
i
i
; 
),
cos(
cos
)
,
(
i
i
i
i
i
q
p
p
p
p
q
p
w
+
+
=
∂
∂
∂
3
,
2
,1
),
cos(
)
,
(
=
+
=
∂
∂
∂
i
q
p
q
p
q
p
w
i
i
i
i
; 
3
,
2
,1
,
,
,
0
)
,
(
,
0
)
,
(
=
≠
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
j
i
j
i
q
p
q
p
w
p
p
q
p
w
j
i
j
i
. 
Поэтому 
E
q
p
w
E
p
p
w
j
i
j
i
j
i
j
i
=








∂
∂
∂
=








∂
∂
∂
=
=
3
1
,
2
3
1
,
2
)
0
,
0
(
,
2
)
0
,
0
(
, 
где 
E
единичная матрица размера 
3
3×
. 
Положим 
)
,
(
min
:
,
q
p
w
m
q
p
Ω
∈
=
и 
}
|
|:
{
:
)
0
(
δ
δ
<
Ω
∈
=
q
q
B
. 
Теорема 1. Пусть выполняется условия 1. Тогда существует некоторая 
δ
-окрестность 
)
0
(
)
0
(
δ
δ
B
B
×
 точки 
2
)
0
,
0
(
Ω
∈
 такая, что имеет место равенство 
(
)
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
2
1
)
,
(
1
2
1
q
p
h
q
Wq
l
q
Wp
l
p
Wp
l
m
q
p
w
+
+
+
+
=
 
и 
|
|
2
1
l
l >
. Здесь функция 
)
,
( q
p
h
 удовлетворяет условию 
)
(
|
)
,
(
|
2
2
q
p
C
q
p
h
+
≤
 (1) 
для некоторого 
0
>
C
. 
Доказательство. Так как функция 
)
,
(
)
(
q
p
w
k
w
=
аналитична, то по формуле Тейлора для функций 
с несколькими переменными существует 
)
1,
0
(
∈
s
такое, что 
+
















∂
∂
∂
+
















∂
∂
∂
+
=
=
=
q
p
q
p
w
p
p
p
p
w
w
k
w
j
i
j
i
j
i
j
i
,
)
0
,
0
(
2
1
,
)
0
,
0
(
2
1
)
0
,
0
(
)
(
3
1
,
2
3
1
,
2
+
















∂
∂
∂
+
















∂
∂
∂
+
=
=
q
q
q
q
w
p
q
p
q
w
j
i
j
i
j
i
j
i
,
)
0
,
0
(
2
1
,
)
0
,
0
(
2
1
3
1
,
2
3
1
,
2
)
,
(
)
0
,
0
(
!
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
|
|
|
|
3
2
1
3
2
1
3
q
p
h
q
q
q
p
p
p
q
q
q
p
p
p
w
m
m
m
n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
n
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∑
=
+
для каждого 
)
0
(
,
δ
B
q
p ∈
, где 
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
4
|
|
|
|
3
2
1
3
2
1
4
)
,
(
!
4
1
)
,
(
m
m
m
n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
n
q
q
q
p
p
p
q
q
q
p
p
p
sq
sp
w
q
p
h
∑
=
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
(2) 
и 
3
2
1
3
2
1
,
,
,
,
,
m
m
m
n
n
n
- положительные числа, 
3
2
1
|
|
n
n
n
n
+
+
=
. 
Функция 
)
(k
w
- чётна, следовательно, 
0
)
0
,
0
(
!
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
|
|
|
|
3
2
1
3
2
1
3
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∑
=
+
m
m
m
n
n
n
m
n
m
m
m
n
n
n
q
q
q
p
p
p
q
q
q
p
p
p
w
. 

---

112
«Молодой учёный» . № 4 (138)  . Январь 2017 г.
Математика
Литература:
1. В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.
Функция 
)
,
( q
p
w
- аналитична, поэтому [1] существует положительное число 
M
, ограничивающее все частные 
производные 4-порядка функции 
w
, именно, 
M
q
q
q
p
p
p
q
p
w
m
m
m
n
n
n
≤
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
4
)
,
(
для каждого 
)
0
(
,
δ
B
q
p ∈
. Из (2) имеем 
2
2
2
)
(
!
3
|
)
,
(
|
q
p
M
q
p
h
+
≤
. 
Так как 
)
,
( q
p
w
- симметричен, т.e. 
)
,
(
)
,
(
p
q
w
q
p
w
=
, получим 
3
1
,
2
3
1
,
2
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
=
=








∂
∂
∂
=
















∂
∂
∂
j
i
j
i
T
j
i
j
i
q
p
w
p
q
w
(где 
T
означает транспонированную матрицу). 
Поэтому 
+
















∂
∂
∂
+
















∂
∂
∂
+
=
=
=
q
p
q
p
w
p
p
p
p
w
w
q
p
w
j
i
j
i
j
i
j
i
,
)
0
,
0
(
,
)
0
,
0
(
2
1
)
0
,
0
(
)
,
(
3
1
,
2
3
1
,
2
)
,
(
,
)
0
,
0
(
2
1
3
1
,
2
q
p
h
q
q
q
q
w
j
i
j
i
+
















∂
∂
∂
+
=
По условию 1 
(
)
(
) (
)
(
)
)
,
(
,
,
2
,
2
1
)
,
(
1
2
1
q
p
h
q
Wq
l
q
Wp
l
p
Wp
l
m
q
p
w
+
+
+
+
=
и матрица 






=








∂
∂
∂
=
W
l
W
l
W
l
W
l
k
k
w
j
i
j
i
1
2
2
1
6
1
,
2
)
0
(
положительно определена. Отсюда следует, что 
0
)
)(det
(
2
2
2
2
1
>
−
W
l
l
и, следовательно, 
|
|
2
1
l
l >
. Теорема 1 
доказана. 
Теорема 1 играет важную роль при изучении поведении определителя Фредгольма соответствующий модели Фри-
дрихса. 

---