Исследования

Математические методы в психологии
ная величина примет значение меньше или равное х; m
и с — некоторые числовые параметры. Если m = 0, а о = 1,
то функция F(x) обозначается как Ф(х) и называется фун-
кцией распределения стандартной нормальной случай-
ной величины, или стандартным нормальным распре-
делением.
Для функции Ф составлены таблицы (Ликеш И.,
Ляга Й. Основные таблицы математической статистики.
1985. С. 70). По этим таблицам можно рассчитать значе-
ние функции распределения для любой нормальной слу-
чайной величины F(x), воспользовавшись соотношением:
где m и а — числовые параметры функции F(x).
Формула (1.0.0.1) выражает взаимосвязь случайной
величины с ее вероятностью, поэтому она может вы-
ступать в качестве примера третьей, аналитической,
формы представления распределения вероятности
случайной величины.
Выражение, стоящее под знаком интеграла в фор-
муле (1.0.0.1), называется функцией плотности распре-
деления вероятности. Для нормальной случайной ве-
личины она описывает кривую Гаусса на диаграмме
(рис. 4). Площадь под этой кривой, ограниченная спра-
ва вертикальной линией, проходящей через точку х на
горизонтальной оси, равняется значению функции
распределения в этой точке. Вся площадь под кривой
равняется 1, т. к. случайная величина наверняка при-
мет значение из интервала от
до +
Квантилью уровня р
случайной величины, ко-
торая имеет функцию распределения F(x), называется
решение уравнения F(x) = р. Если площадь под кривой
на рис. 4 слева от точки х равняется р, то х
назы-
вается квантилью уровня р распределения F(x).
В статистике часто используют квантиль уровня
р = 0.5, которая называется медианой. Будем называть
верхней квантилью распределения уровня р квантиль
распределения уровня 1-р.
Любое распределение вероятности случайной ве-
личины описывается рядом числовых характеристик.
Рассмотрим две наиболее важные из них, это матема-
тическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. 137

---

Глава 4
Математическое ожидание — это среднее значе-
ние случайной величины. Для нормальной случайной
величины оно является наиболее вероятным, т. е. чаще
всего встречается на практике. Размеры математичес-
кого ожидания можно оценить как среднее арифмети-
ческое значений случайной величины, которые были
получены в n-испытании, по формуле:
1
где
— математическое ожидание случайной ве-
личины х;
— значение случайной величины, полу-
ченное в i-м испытании; п — количество испытаний.
Для оценки математического ожидания такой слу-
чайной величины, как «сырой» тестовый балл, получен-
ный респондентом по результатам тестирования, необ-
ходимо протестировать случайную выборку размером
приблизительно в 20 человек и подсчитать по формуле
(1.0.0.2) среднее арифметическое полученных ими тес-
товых оценок.
В формуле (1.0.0.1), описывающей распределе-
ние нормальной случайной величины, параметр m
является математическим ожиданием этой случай-
ной величины.
Обратившись к графическому представлению рас-
пределения вероятности на рис. 4, можно утверждать,
что математическим ожиданием для этой случайной
величины является ее значение, равное М.
Математическое ожидание определяет место
кривой распределения относительно горизонтальной
оси координат. Чем больше величина математичес-
кого ожидания, тем правее на оси находится кривая,
а чем меньше, тем — левее. Поэтому математичес-
кое ожидан-ие нередко называют характеристикой
места кривой распределения вероятности случайной
величины.
Среднеквадратичное отклонение случайной вели-
чины (его еще называют стандартным отклонением)
указывает на средний разброс ее значений вокруг
математического ожидания. Значение среднеквадра-
138 тичного отклонения можно оценить по формуле:

---