Issiqlik almashinuv asoslari

Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasi.

Izotermik sirt dF dan d vaqt ichida o‘tayotgan issiqlik miqdorini aniqlash uchun (5) tenglamani F va  bo‘yicha integrallash lozim, ya’ni jism ichidagi harorat maydonini bilish kerak. Bu masalani yechish uchun issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasi keltirib chiqariladi.

3- rasm. Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasiga

doir. Dekart (a) va silindrik (b) koordinatalardagi tasviri.

Tenglamani keltirib chiqarishda quyidagi shartlar qabul qilinadi: jism bir jinsli va izotrop va uning fizik parametrlari o‘zgarmas. Energiyaning saqlanish qonuniga asosan, jismning elementar hajmiga  vaqt ichida tashqaridan issiqlik o‘tkazuvchanlik yo‘li bilan keltirilgan dQ₁ issiqlik miqdori va ichki issiqlik manbai tomonidan ajralib chiqayotgan issiqlik miqdori dQ₂ yig‘indisi jismning ichki energiyasining o‘zgarishiga teng bo‘lishi kerak dQ = dU:

dQ₁ + dQ₂ = dQ

Bu tenglama hadlarini Dekart koordinata tizimida aniqlash uchun jismda tomonlari dx, dy, va dz bo‘lgan parallelepiped ajratib olamiz
Bu yerda dQ_x, dQ_y, dQ_z – olib keltirilayotgan issiqlik. dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz – olib ketilayotgan issiqlik. U holda dydz qirra uchun Fur’e qonuniga asosan:


(3)

Bu kattaliklar farqi parallelepipedda qolayotgan issiqlik miqdorini beradi:

₍₄₎
Xuddi shunday bog‘lanishni qolgan ikki qirra uchun keltirib chiqarish mumkin. U holda jismga keltirilgan va unda qolgan umumiy issiqlik miqdori quyidagiga teng bo‘ladi:
₍₅₎

Agar ichki issiqlik manbaining solishtirma issiqlik unumdorligini q_v(J/m³) orqali belgilasak:

dQ₂=q_v dxdydzd bo‘ladi. (6)

d vaqt ichida jismning ichki energiyasining o‘zgarishi

₍₇₎
dQ₁, dQ₂ va dQ larni (9) tenglamaga qo‘yib, ba’zi o‘zgartirishlardan so‘ng quyidagini hosil qilamiz:
₍₈₎
yoki
₍₉₎
bu yerda,
- harorat o‘tkazuvchanlik koeffitsienti;
- Laplas operatori.
U holda, issiqlik o‘tkazuvchanlik differentsial tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:
(10)

Silindrik koordinatalar tizimida (2-rasm, b) (9) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

(11)
bu yerda,
r – radius vektor;
 - burchak.
Statsionar holat uchun t/=0, u holda (11) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(12)

Ichki issiqlik manbai bo‘lmasa: Statsionar holatda ²t = 0

Nostatsionar holatda t/ = a²t
(10) va (11) tenglamalar, issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayoni ro‘y berayotgan jismning istalgan nuqtasidagi haroratning vaqt va fazoviy o‘zgarishlari orasidagi bog‘lanishni belgilaydi. Issiqlik o‘tkazuvchanlikni differentsial tenglamasi (Fur’e tenglamasi) issiqlik o‘tkazuvchanlik usuli bilan issiqlik uzatilishini eng umumiy holda yoritadi.
Frantsuz olimi Fur’e qattiq jismlardagi issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayonlarini o‘rganib, yuza birligi dF dan vaqt birligi d ichida o‘tayotgan dQ issiqlik miqdori va harorat gradiyenti o‘rtasidagi bog‘lanishni aniqlanadi.

dQ = -λ dF grad t d = -λ dF d(t/n) (13)

(12) tenglama issiqlik o‘tkazuvchanlikning asosiy qonunini ifodalaydi va Fur’e qonuni deyiladi. Shu tenglamadagi minus ishora issiqlik oqimi bilan harorat gradientining vektorlari qarama-qarshi tomonga yo‘nalganligini bildiradi.

(12) ifodadagi proportsionallik koeffitsienti λ issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsenti deyiladi. Izotermik sirt birligidan vaqt birligi ichida o‘tadigan issiqlik miqdori issiqlik oqimining zichligi deyiladi.

q= -dQ/(dFd) yoki q= -λ (t/n) (14)

Issiqlik oqimi zichligi q ning vektori doimo haroratning pasayishi tomoniga yo‘nalgan bo‘ladi. Ixtiyoriy sirt F dan vaqt birligi ichida o‘tayotgan issiqlik miqdori quyidagicha aniqlanadi:

. (15)

Yuqorida o‘rganilgan kattaliklarni birliklari quyidagicha:

harorat gradienti – grad/m; issiqlik oqimi – Vt; issiqlik oqimining zichligi – Vt/m²
Issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsientining birligi (14) ifodadan aniqlanadi:


(16)

Demak, issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsientining qiymati, son jihatdan, haroratlar farqi 1⁰C bo‘lganda devorning birlik qatlamidan o‘tadigan solishtirma issiqlik oqimiga teng. Turli xil moddalar uchun  ma’lum bir qiymatga ega bo‘lib, u moddaning tuzilishiga, zichligiga, bosimiga va haroratsiga bog‘liq.

Issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti λ ning qiymati har qaysi jism uchun tajribadan topiladi. Ko‘pchilik materiallar uchun λ ning haroratga bog‘liqligini quyidagicha ifodalash mumkin:

λ = λ₀[1+b (t - t₀)],

bu yerda,

λ₀- t₀C haroratdagi issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti;
t – harorat, C;
b – tajriba orqali aniqlanadigan harorat koeffitsienti.
Bu tenglamani aniq bir hollar uchun qo‘llashda, vaqtning boshlang‘ich paytida jismda haroratning taqsimlanishini va boshlang‘ich shartlarni bilish zarur.
Bundan tashqari quyidagilar ma’lum bo‘lishi kerak: jismning geometrik shakli va o‘lchami, muhit va jismning fizik parametrlari, jism sirtida haroratning taqsimlanishini belgilovchi chegara shartlari. Yuqoridagi barcha xususiyatlar differentsial tenglama bilan birgalikda aniq bir issiqlik o‘tkazuvchanlik jarayonlarini to‘liq yoritadi va bir xillilik shartlari yoki chegara shartlari deb aytiladi. Odatda, haroratning boshlang‘ich taqsimoti =0 vaqt uchun beriladi.
Chegara shartlari uch xil usulda berilishi mumkin. Chegara shartlarining birinchi turida haroratning jism sirtida taqsimoti vaqtning istalgan har qanday payti uchun beriladi. Chegara shartlarining ikkinchi turida vaqtning har qanday istalgan payti uchun jism sirtidagi har qaysi nuqtada issiqlik oqimining zichligi beriladi.
Chegara shartlarining uchinchi turida jismni o‘rab turgan muhit haroratsi va jism sirti bilan atrof muhit o‘rtasidagi issiqlik berish qonuniyatlari beriladi.
Issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasini bir xillilik shartlari asosida yechish, jismni butun hajmi bo‘yicha vaqtning istalgan paytida harorat maydonini aniqlash imkonini beradi va u quyidagicha yoziladi:


₍₉₎
bu yerda,
- harorat o‘tkazuvchanlik koeffitsienti;
- Laplas operatori.
U holda, issiqlik o‘tkazuvchanlikning differentsial tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:
(10)

Silindrik koordinatalar tizimida (2-rasm, b) (9) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Xulosa qilib aytganimizda termodinamika ikkinchi bosh qonunining ta’riflari shakllari bilan farqlanadi. Lekin barchasining ham mazmuni tabiatdagi protsesslarning sodir bo’lish yo’nalishini ko’rsatishdan iborat.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. Zohidov R.A., Avezov R.R., Vardiyashvili A.B., Alimova M.M. «Issiqlik texnikasining nazariy asoslari» o'q.qo'l., 1 qism, TGTU, 2005.
2. Zohidov R.A., Alimova M.M., Mavjudova Sh.S. Texnik termodinamika va issiqlik uzatilishi fanidan masalalar to'plami, TDTU, Toshkent, 2006.
3. Светков Ф.Ф., Григорев Б.А. Тепломассообмен, МЕИ, 2001.
4. Кудинов В.А., Э.М.Карташов. Техническая термодинамика. -М.: Всшая школа. 2005
5. Alimova M.M., Mavjudova Sh.S., Isaxodjayev X.S., Raximjonov R.T., Umarjonova F.Sh. «Issiqlik texnikasining nazariy asoslari» fanidan tajriba ishlari to’plami. Uslubiy qo’llanma, 1-qism. Toshkent, ToshDTU. 2006.
6. Alimova M.M., Mavjudova Sh.S., Isaxodjaev X.S., Raximjonov R.T., Umarjonova F.Sh. «Issiqlik texnikasining nazariy asoslari» fanidan tajriba ishlari to'plami uslubiy qo'llanmasi. 1-qism. ToshDTU, 2004
7. www.ziyonet.uz
8. www.arxiv.uz